关于a,b的极限证明题目

现在站长，应该可以看出答案吧，感觉自己有进步，是不是特开心，龇牙。

GPT 的答案略作修改

为了计算这个极限 $\lim_{x \to 0} \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}}$，我们可以利用极限的性质以及一些特殊极限。特别是，我们可以用到指数函数的连续性和指数函数的极限性质。

首先，我们可以将原表达式写为：

$$
\lim_{x \to 0} \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}} = \lim_{x \to 0} \left(\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\right)^3
$$

我们看到这个极限的内部基本形式是 $f(x)^{\frac{1}{x}}$，其中 $f(x) \to f(0)$ 当 $x \to 0$。这提示我们使用 e 的指数极限 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ 作为解决问题的工具。这是因为我们可以重写内部的极限为 $e$ 的幂。

现在的目标是将 $\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ 的极限导入到这个特殊的形式中。为了实现这一点，我们将上述表达式转换成以下形式：

$$
\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \exp\left(\frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)\right)
$$

我们知道 $\exp$ 和 $\ln$ 是相互的逆函数，所以我们可以关注于内部的极限 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)$ 并使用洛必达法则处理这个不定形式（0/0类型）。

我们首先计算分子和分母的导数：

分子的导数：$\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)$
分母的导数：$\frac{d}{dx} x = 1$

接下来，我们计算分子的导数：

$$
\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right) = \frac{1}{\frac{a^x + b^x}{2}} \cdot \left(\frac{d}{dx} \frac{a^x + b^x}{2}\right)
$$

现在我们应用指数函数的导数规则 $d(a^x)/dx = a^x \ln(a)$ 和 $d(b^x)/dx = b^x \ln(b)$:

$$
\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right) = \frac{2(a^x \ln(a) + b^x \ln(b))}{a^x + b^x}
$$

现在，我们应用洛必达法则，考虑分子和分母的导数：

$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln(a) + b^x \ln(b)}{a^x + b^x}
$$

当 $x \to 0$，$a^x \to 1$ 和 $b^x \to 1$，因此上式的极限变为：

$$
\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}
$$

由于对数的性质，$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$，所以上面的极限可以进一步简化为 $\ln(ab)/2$。

现在我们有了内部极限的结果，我们可以写出原始极限的结果：

$$
\lim_{x \to 0} \left(\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\right)^3 = \exp(\ln(ab)/2)^3 = (ab)^{\frac{3}{2}}
$$

因此，当 $x \to 0$ 时，$\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}}$ 的极限是 $(ab)^{\frac{3}{2}}$。