从费马大定理谈起(二):勾股数
By 苏剑林 | 2014-08-15 | 26977位读者 |费马大定理说的是$n > 2$的情况,但是我们可以从$n=2$出发,求解到勾股数组的一般表达式,并且从中得到证明费马大定理的原始思想。
互质解 #
我们在实整数,也就是$\mathbb{Z}$内求解。为了求解不定方程$x^2+y^2=z^2$,首先我们注意到,这是一道齐次方程,这告诉我们,如果存在某一组解,那么可以通过同除以公约数的方法,得到一组两两互质的解。换句话说,有解必有互质解,这是$x^n+y^n=z^n$的解的通性。那么,我们假设$(x,y,z)=(a,b,c)$ 是方程$x^2+y^2=z^2$的一个互质解。
下面来分析同余性质。我们选择素因子2,也就是分析$a,b,c$的奇偶性。在$\mathbb{Z}$中,2是一个比较特殊的素数,因为它是绝对值最小的素数,所以它的同余情况最小(2除任意整数,要不模1,要不整除)。很容易注意到一个事实是:
如果$n\equiv 1(\bmod\,2)$,那么$n^2\equiv 1(\bmod\,4)$。
这样子,我们就得到$a,b$之中,必然一奇一偶。证明如下:因为是互质解,所以不可能都是偶数,假如是两个奇数,那么$a^2\equiv 1(\bmod\,4),b^2\equiv 1(\bmod\,4)$,得到$(a^2+b^2)\equiv 2(\bmod\,4)$,但是$a^2+b^2=c^2$,所以$c^2\equiv 2(\bmod\,4)$,这是矛盾的,因为平方数模4只能是1或0。
既然$a,b$一奇一偶,那么$c$就是奇数,可以设$a$是偶数,$b$是奇数,注意到
$$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)$$
我们知道,$m,n$的公约数必然也整除$m+n$和$m-n$,因此,$c-b$和$c+b$的公约数必然也整除$2c$和$2b$,由于$c,b$都是奇数,因此$c-b$和$c+b$有公约数2,这样子,可以设$c-b=2u,c+b=2v,a=2\alpha$,此时有
$$\alpha^2=uv$$
这时候$u+v=c,v-u=b$,由于在假设中$b,c$是互质的,因此$(u,v)=1$。两个互质的数之积是一个平方数,那么这两个数在相差一个单位数因子的意义之下,本身就是平方数。要注意,这里“相差一个单位数因子”是不能缺少的,$\mathbb{Z}$中的单位数是$\pm 1$,这告诉我们6不但可以写成$2\times 3$,也可以写成$(-2)\times (-3)$。因此可以设$u=\pm p^2,v=\pm q^2$,得到互质勾股数组的通解公式:
$$a=\pm 2pq,\ b=\pm q^2\mp p^2,\ c=\pm q^2\pm p^2$$
步骤回顾 #
我们来简单分析一下我们的各个步骤,并且留意哪些步骤可以同样地用来分析$n > 2$时的解。首先第一步是有解必有两两互质解,这个性质对于任意$n$都成立;其次,我们用到了关于素数2的同余分析,这个步骤在$n > 2$时就不适用了,但是,扩展数域之后,换另外的素因子,这个步骤同样可行;最后,我们用到了一个很关键的性质:“两个互质的数之积是一个平方数,那么这两个数在相差一个单位数因子的意义之下,本身就是平方数”。把这句话中的平方数换成立方数、四次方数等,结论照样成立,这跟$\mathbb{Z}$的唯一分解性质有关(算术基本定理)。
我们还看到,为了求解$x^2+y^2=z^2$,我们要将其进行因式分解$x^2=(z-y)(z+y)$,而且为了分析上的便捷性,是要分解成一次多项式的乘积。然而,这一点在$n > 2$时,在实数范围内并不能做到,而为了做到这一点,就需要将整数拓展到复数范围内,这时,我们就可以看到扩展数域的必要性了。不过,扩展后的“整数”中,很多在实整数比较显然的性质都不成立,比如唯一分解性,这就需要进一步的技巧来克服这些困难,而这些内容,将会在后面的文章谈及。
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December 16th, 2015
”如果存在某一组解,那么可以通过同除以公约数的方法,得到一组两两互质的解“,似乎不妥。
(8,12,34)=2 => (4,6,17)=1, 并非两两互质。
需要补充说明,比如勾股數組定理表明a,b,c互素,网上摘得一段如下:
引用一段構造正確性的證明:
本原勾股數組是一個三元組(a,b,c),其中a,b,c無公因數,且滿足a? +b? =c?。
很明顯存在無窮多個勾股數組(abc同乘以n),下面研究abc沒有公因數的情況,先寫出一些本原勾股數組:
case:(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)(9,40,41)(12,35,37)(11,60,61)(28,45,53) (33,56,65) (16,63,65)
觀察可以看出a,b奇偶性不同且c總是奇數。(用一點技巧可以證明這是正確的)
3? = 5? - 4? = (5-4)(5+4) = 1 × 9
15? = 17?-8? = (17-8)(17+8) = 9 ×25
35? = 37? - 12? = (37-12)(37+12) = 25 ×49
......
很神奇的是似乎c-b與c+b總是平方數,並且c-b與c+b木有公因數。證明一下下:假設有公因數,設d是c-b與c+b的公因數,則d也整除(c+b)+(c-b)=2c, (c+b)-(c-b) = 2b,所以d整除2c,2b,但是b,c木有公因數,又假設了(a,b,c)是本原勾股數組,從而d等于1或2,又因爲d整除(c-b)(c+b)=a?.a?是奇數,所以d = 1,c-b與c+b木有公因數。又因爲(c-b)(c+b)=a?,所以c-b與c+b的積是平方數,只有二者都是平方數才會出現(可以把二者分解成素數乘積直觀地看出),令c+b = s?,c-b=t?,解得
c=(s?+t?)/2, b=(s?-t?)/2,a = √(c-b)(c+b) = st.這就得出了勾股數組定理:
每個本原勾股數組(a,b,c)(a爲奇數,b偶數)都可由如下公式得出:a=st,b=(s?-t?)/2, c = (s?+t?)/2, 其中s>t>=1是沒有公因數的奇數。
當取t=1時就可以得到上面的許多例子。
“如果存在某一组解,那么可以通过同除以公约数的方法,得到一组两两互质的解”,这至少对于勾股数问题来说是很显然成立的,你说的例子(8,12,34)=2 => (4,6,17)=1不成立,显然,(8,12,34)肯定不是一组解。(要注意,我说的是一组解,不是任意三个数)
当然,还是非常感谢你的讨论,还有你的详细的回复。你回复中的过程,其实是一个探索性的过程,但是就我写这系列文章的主题(希望解决若干个费马大定理的特例)来说,这个探索性的过程比较简单,属于可以省略的部分啦