[问题解答]双曲线上的最短距离
By 苏剑林 | 2013-02-04 | 26854位读者 |昨天晚上一位网友与我讨论以下问题:
函数$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$的图像为双曲线,在此双曲线的两支上分别取P、Q点,求PQ的最短距离。
显然,如果双曲线是普通的$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的形式,则这个问题是相当简单的。就是当y=0时两个点的距离,也就是2a。但是很明显这样的一条双曲线是经过旋转的。因此我们需要知道它究竟旋转了多少度$\theta$。然后列出$y=(\tan\theta) x$,联立双曲线方程就可以求出两个点了。
要求出旋转的角度,我们需要借助双曲线的两条渐近线。直线的问题总比双曲线问题容易处理一些。“渐近”就意味着当函数取极限的时候的大概形状。当$x\to \infty$时,$\frac{1}{x} \to 0$,即其中一条渐近线为$y=\sqrt{3} x$;另外,当$x\to 0$时,$y\to \infty$,这说明另外一条渐近线为$x=0$,后面一条渐近线的情况不妨类比$y=\frac{1}{x}$的渐近线。
我们把双曲线和渐近线作图如下:
接下来只需要求出两条渐近线的角平分线方程即可,即图中的绿色虚线。经过简单的推理就可以得出绿色的虚线与x轴的负方向夹角为15°,即$\frac{\pi}{12}$,通过:
$$\frac{2 \tan\frac{\pi}{12}}{1-\tan^2 \frac{\pi}{12}}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
可以求出$tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$,因此绿色虚线的方程为
$$y=(\sqrt{3}-2)x$$
联立$y=\sqrt{3} x-\frac{1}{x}$可以求出
$$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$
对应:
$y=\pm (\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2})$
所以距离为
$$\begin{aligned}2\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})} \\ =2\sqrt{4-2\sqrt{3}} \\ =2(\sqrt{3}-1)\end{aligned}$$
转载到请包括本文地址:https://www.kexue.fm/archives/1904
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Feb. 04, 2013). 《[问题解答]双曲线上的最短距离 》[Blog post]. Retrieved from https://www.kexue.fm/archives/1904
@online{kexuefm-1904,
title={[问题解答]双曲线上的最短距离},
author={苏剑林},
year={2013},
month={Feb},
url={\url{https://www.kexue.fm/archives/1904}},
}
最近评论