Tiger：一个“抠”到极致的优化器

这段时间笔者一直在实验《Google新搜出的优化器Lion：效率与效果兼得的“训练狮”》所介绍的Lion优化器。之所以对Lion饶有兴致，是因为它跟笔者之前的关于理想优化器的一些想法不谋而合，但当时笔者没有调出好的效果，而Lion则做好了。

相比标准的Lion，笔者更感兴趣的是它在$\beta_1=\beta_2$时的特殊例子，这里称之为“Tiger”。Tiger只用到了动量来构建更新量，根据《隐藏在动量中的梯度累积：少更新几步，效果反而更好？》的结论，此时我们不新增一组参数来“无感”地实现梯度累积！这也意味着在我们有梯度累积需求时，Tiger已经达到了显存占用的最优解，这也是“Tiger”这个名字的来源（Tight-fisted Optimizer，抠门的优化器，不舍得多花一点显存）。

此外，Tiger还加入了我们的一些超参数调节经验，以及提出了一个防止模型出现NaN（尤其是混合精度训练下）的简单策略。我们的初步实验显示，Tiger的这些改动，能够更加友好地完成模型（尤其是大模型）的训练。

基本形式 #

Tiger的更新规则为
\begin{equation}\text{Tiger}:=\left\{\begin{aligned}
&\boldsymbol{m}_t = \beta \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta\right) \boldsymbol{g}_t \\
&\boldsymbol{\theta}_t = \boldsymbol{\theta}_{t-1} - \eta_t \left[\text{sign}(\boldsymbol{m}_t) \color{skyblue}{ + \lambda_t \boldsymbol{\theta}_{t-1}}\right] \\
\end{aligned}\right.\end{equation}
相比Lion，它就是选择了参数$\beta_1 = \beta_2 = \beta$；相比SignSGD，它则是新增了动量和权重衰减。

参考实现：

Tiger：https://github.com/bojone/tiger

下表对比了Tiger、Lion和AdamW的更新规则：
\begin{array}{c|c|c}
\hline
\text{Tiger} & \text{Lion} & \text{AdamW} \\
\hline
{\begin{aligned}
&\boldsymbol{m}_t = \beta \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta\right) \boldsymbol{g}_t \\
&\boldsymbol{\theta}_t = \boldsymbol{\theta}_{t-1} - \eta_t \left[\text{sign}(\boldsymbol{m}_t) \color{skyblue}{ + \lambda_t \boldsymbol{\theta}_{t-1}}\right] \\
\end{aligned}} &
{\begin{aligned}
&\boldsymbol{u}_t = \text{sign}\big(\beta_1 \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta_1\right) \boldsymbol{g}_t\big) \\
&\boldsymbol{\theta}_t = \boldsymbol{\theta}_{t-1} - \eta_t (\boldsymbol{u}_t \color{skyblue}{ + \lambda_t \boldsymbol{\theta}_{t-1}}) \\
&\boldsymbol{m}_t = \beta_2 \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta_2\right) \boldsymbol{g}_t
\end{aligned}} &
{\begin{aligned}
&\boldsymbol{m}_t = \beta_1 \boldsymbol{m}_{t-1} + \left(1 - \beta_1\right) \boldsymbol{g}_t\\
&\boldsymbol{v}_t = \beta_2 \boldsymbol{v}_{t-1} + \left(1 - \beta_2\right) \boldsymbol{g}_t^2\\
&\hat{\boldsymbol{m}}_t = \boldsymbol{m}_t\left/\left(1 - \beta_1^t\right)\right.\\
&\hat{\boldsymbol{v}}_t = \boldsymbol{v}_t\left/\left(1 - \beta_2^t\right)\right.\\
&\boldsymbol{u}_t =\hat{\boldsymbol{m}}_t\left/\left(\sqrt{\hat{\boldsymbol{v}}_t} + \epsilon\right)\right.\\
&\boldsymbol{\theta}_t = \boldsymbol{\theta}_{t-1} - \eta_t (\boldsymbol{u}_t \color{skyblue}{ + \lambda_t \boldsymbol{\theta}_{t-1}})
\end{aligned}} \\
\hline
\end{array}

可见Tiger是三者之中的极简者。

超参设置 #

尽管Tiger已经相当简化，但仍有几个超参数要设置，分别是滑动平均率$\beta$、学习率$\eta_t$以及权重衰减率$\lambda_t$，下面我们分别讨论这几个参数的选择。

滑动率 #

比较简单的是滑动平均的衰减率$\beta$。我们知道，在基本形式上Tiger相当于Lion取$\beta_1 = \beta_2 = \beta$的特殊情形，那么一个直觉是Tiger应当取$\beta=\frac{1}{2}(\beta_1 + \beta_2)$。在Lion的原论文中，对于CV任务有$\beta_1=0.9,\beta_2=0.99$，所以我们建议CV任务取$\beta = 0.945$；而对于NLP任务则有$\beta_1=0.95,\beta_2=0.98$，所以我们建议NLP任务取$\beta = 0.965$。

学习率 #

对于学习率，Tiger参考了Amos、LAMB等工作，将学习率分两种情况设置。第一种是线性层的bias项和Normalization的beta、gamma参数，这类参数的特点是运算是element-wise，我们建议学习率选取为全局相对学习率$\alpha_t$的一半；第二种主要就是线性层的kernel矩阵，这类参数的特点是以矩阵的身份去跟向量做矩阵乘法运算，我们建议学习率选取为全局相对学习率$\alpha_t$乘以参数本身的$\text{RMS}$（Root Mean Square）：
\begin{equation}\eta_t = \left\{\begin{aligned}
&\alpha_t \times 0.5, &\boldsymbol{\theta} \in \{bias, beta, gamma\}\\[5pt]
&\alpha_t \times \text{RMS}(\boldsymbol{\theta}_{t-1}), &\boldsymbol{\theta} \not\in \{bias, beta, gamma\}
\end{aligned}\right.\end{equation}
其中
\begin{equation}\text{RMS}(\boldsymbol{\theta})=\sqrt{\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k \theta_i^2},\quad \boldsymbol{\theta}=(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)\end{equation}
这样设置的好处是我们把参数的尺度分离了出来，使得学习率的调控可以交给一个比较通用的“全局相对学习率”$\alpha_t$——大致可以理解为每一步的相对学习幅度，是一个对于模型尺度不是特别敏感的量。

换句话说，我们在base版模型上调好的$\alpha_t$，基本上可以不改动地用到large版模型。注意$\alpha_t$带有下标$t$，所以它包含了整个学习率的schedule，包括Wamrup以及学习率衰减策略等，笔者的设置经验是$\max(\alpha_t)\in[0.001,0.002]$，至于怎么Warmup和衰减，那就是大家根据自己的任务而设了，别人无法代劳。笔者给的tiger实现，内置了一个分段线性学习率策略，理论上可以用它模拟任意的$\alpha_t$。

衰减率 #

最后是权重衰减率$\lambda_t$，这个Lion论文最后一页也给出了一些参考设置，一般来说$\lambda_t$也就设为常数，笔者常用的是0.01。特别的是，不建议对前面说的bias、beta、gamma这三类参数做权重衰减，或者即便要做，$\lambda_t$也要低一个数量级以上。因为从先验分布角度来看，权重衰减是参数的高斯先验，$\lambda_t$跟参数方差是反比关系，而bias、beta、gamma的方差显然要比kernel矩阵的方差大，所以它们的$\lambda_t$应该更小。
\begin{equation}\lambda_t = \left\{\begin{aligned}
&0, &\boldsymbol{\theta} \in \{bias, beta, gamma\}\\[5pt]
&constant > 0, &\boldsymbol{\theta} \not\in \{bias, beta, gamma\}
\end{aligned}\right.\end{equation}

梯度累积 #

对于很多算力有限的读者来说，通过梯度累积来增大batch_size是训练大模型时不可避免的一步。标准的梯度累积需要新增一组参数，用来缓存历史梯度，这意味着在梯度累积的需求下，Adam新增的参数是3组，Lion是2组，而即便是不加动量的AdaFactor也有1.x组（但说实话AdaFactor不加动量，收敛会慢很多，所以考虑速度的话，加一组动量就变为2.x组）。

而对于Tiger来说，它的更新量只用到了动量和原参数，根据《隐藏在动量中的梯度累积：少更新几步，效果反而更好？》，我们可以通过如下改动，将梯度累积内置在Tiger中：
\begin{equation}\text{Tiger}:=\left\{\begin{aligned} &\boldsymbol{m}_t = \big[(\beta - 1)\chi_{(t-1)/k} + 1\big] \boldsymbol{m}_{t-1} + \frac{1}{k}\left(1 - \beta\right) \boldsymbol{g}_t \\ &\boldsymbol{\theta}_t = \boldsymbol{\theta}_{t-1} - \chi_{t/k}\eta_t \left[\text{sign}(\boldsymbol{m}_t) \color{skyblue}{ + \lambda_t \boldsymbol{\theta}_{t-1}}\right] \\ \end{aligned}\right.\end{equation}
这里的$\chi_{t/k}$是判断$t$能否被$k$整除的示性函数
\begin{equation}\chi_{t/k} = \left\{ \begin{aligned}&1,\quad t \equiv 0\,(\text{mod}\, k) \\
&0,\quad t \not\equiv 0\,(\text{mod}\, k)
\end{aligned}\right.\end{equation}
可以看到，这仅仅相当于修改了滑动平均率$\beta$和学习率$\eta_t$，几乎不增加显存成本，整个过程是完全“无感”的，这是笔者认为的Tiger的最大的魅力。

需要指出的是，尽管Lion跟Tiger很相似，但是Lion并不能做到这一点，因为$\beta_1\neq\beta_2$时，Lion的更新需要用到动量以及当前批的梯度，这两个量需要用不同的参数缓存，而Tiger的更新只用到了动量，因此满足这一点。类似滴，SGDM优化器也能做到一点，但是它没有$\text{sign}$操作，这意味着学习率的自适应能力不够好，在Transformer等模型上的效果通常不如意（参考《Why are Adaptive Methods Good for Attention Models?》）。

全半精度 #

对于大模型来说，混合精度训练是另一个常用的“利器”（参考《在bert4keras中使用混合精度和XLA加速训练》）。混合精度，简单来说就是模型计算部分用半精度的FP16，模型参数的储存和更新部分用单精度的FP32。之所以模型参数要用FP32，是因为担心更新过程中参数的更新量过小，下溢出了FP16的表示范围（大致是$6\times 10^{-8}\sim 65504$），导致某些参数长期不更新，模型训练进度慢甚至无法正常训练。

然而，Tiger（Lion也一样）对更新量做了$\text{sign}$运算，这使得理论上我们可以全用半精度训练！分析过程并不难。首先，只要对Loss做适当的缩放，那么可以做到梯度$\boldsymbol{g}_t$不会溢出FP16的表示范围；而动量$\boldsymbol{m}_t$只是梯度的滑动平均，梯度不溢出，它也不会溢出，$\text{sign}(\boldsymbol{m}_t)$只能是$\pm 1$，更加不会溢出了；之后，我们只需要保证学习率不小于$6\times 10^{-8}$，那么更新量就不会下溢了，事实上我们也不会将学习率调得这么小。因此，Tiger的整个更新过程都是在FP16表示范围内的，因此理论上我们可以直接用全FP16精度训练而不用担心溢出问题。

防止NaN #

然而，笔者发现对于同样的配置，在FP32下训练正常，但切换到混合精度或者半精度后有时会训练失败，具体表现后Loss先降后升然后NaN，这我们之前在《在bert4keras中使用混合精度和XLA加速训练》也讨论过。虽然有一些排查改进的方向（比如调节epsilon和无穷大的值、缩放loss等），但有时候把该排查的都排查了，还会出现这样的情况。

经过调试，笔者发现出现这种情况时，主要是对于某些batch梯度变为NaN，但此时模型的参数和前向计算还是正常的。于是笔者就想了个简单的应对策略：对梯度出现NaN时，跳过这一步更新，并且对参数进行轻微收缩，如下
\begin{equation}\text{Tiger}:=\left\{\begin{aligned}
&\boldsymbol{m}_t = \boldsymbol{m}_{t-1} \\
&\boldsymbol{\theta}_t = (\boldsymbol{\theta}_{t-1} - c)\times s+ c \\
\end{aligned}\right. \quad if\,\,\boldsymbol{g}_t = \text{NaN}\end{equation}
其中$s\in(0, 1)$代表收缩率，笔者取$s=0.99$，$c$则是参数的初始化中心，一般就是gamma取1，其他参数都是0。经过这样处理后，模型的loss会有轻微上升，但一般能够恢复正常训练，不至于从头再来。个人的实验结果显示，这样处理能够缓解一部分NaN的问题。

当然，该技巧一般的使用场景是同样配置下FP32能够正常训练，并且已经做好了epsilon、无穷大等混合精度调节，万般无奈之下才不得已使用的。如果模型本身超参数设置有问题（比如学习率过大），连FP32都会训练到NaN，那么就不要指望这个技巧能够解决问题了。此外，有兴趣的读者，还可以尝试改进这个技巧，比如收缩之后可以再加上一点噪声来增加参数的多样性，等等。

实验结果 #

不考虑梯度累积带来的显存优化，Tiger就是Lion的一个特例，可以预估Tiger的最佳效果肯定是不如Lion的最佳效果的，那么效果下降的幅度是否在可接受范围内呢？综合到目前为止多方的实验结果，笔者暂时得出的结论是：
$$\begin{aligned}
&\text{效果}\color{red}{(\uparrow)}\text{：}\quad\text{Lion} \geq \text{Tiger} \geq \text{AdamW} \approx \text{LAMB} \\
&\text{显存}\color{red}{(\downarrow)}\text{：}\quad\text{Tiger} < \text{Lion} < \text{AdamW} = \text{LAMB} \\
\end{aligned}$$
也就是说，考虑效果Lion最优，考虑显存占用Tiger最优（启用梯度累积时），效果上Tiger不逊色于AdamW，所以Tiger替代AdamW时没有太大问题的。

具体实验结果包括几部分。第一部分实验来自Lion的论文《Symbolic Discovery of Optimization Algorithms》，论文中的Figure 12对比了Lion、Tiger、AdamW在不同尺寸的语言模型上的效果：

Lion、Tiger(Ablation)、AdamW在语言模型任务上的对比

这里的Ablation_0.95、Ablation_0.98，就是Tiger的$\beta$分别取0.95、0.98。可以看到，对于small级别模型，两个Tiger持平AdamW，而在middle和large级别上，两个Tiger都超过了AdamW。但正如前面所说，$\beta$取两者的均值0.965，有可能还会有进一步的提升。

至于在CV任务上，原论文给出了Table 7：

Lion、Tiger(Ablation)、AdamW在图像分类任务上的对比

同样地，这里的Ablation_0.9、Ablation_0.99，就是Tiger的$\beta$分别取0.9、0.99。在这个表中，Tiger跟AdamW有明显差距。但是考虑到作者只实验了0.9、0.99两个$\beta$，而笔者推荐的是$\beta=0.945$，所以笔者跟原作者取得了联系，请他们做了补充实验，他们回复的结果是“$\beta$分别取0.92、0.95、0.98时，在ViT-B/16上ImageNet的结果都是80.0%左右”，那么对比上图，就可以确定在精调$\beta$时，在CV任务上Tiger应该也可以追平AdamW的。

最后是笔者自己的实验。笔者常用的是LAMB优化器，它的效果基本跟AdamW持平，但相对更稳定，而且对不同的初始化适应性更好，因此笔者更乐意使用LAMB。特别地，LAMB的学习率设置可以完全不改动地搬到Tiger中。笔者用Tiger重新训练了之前的base版GAU-α模型，训练曲线跟之前的对比如下：

笔者在GAU-α上的对比实验（loss曲线）

笔者在GAU-α上的对比实验（accuracy曲线）

可以看到，Tiger确实可以取得比LAMB更优异的表现。

未来工作 #

Tiger还有改进空间吗？肯定有，想法其实有很多，但都没来得及一一验证，大家有兴趣的可以帮忙继续做下去。

在《Google新搜出的优化器Lion：效率与效果兼得的“训练狮”》中，笔者对$\text{sign}$运算的评价是

Lion通过$\text{sign}$操作平等地对待了每一个分量，使得模型充分地发挥了每一个分量的作用，从而有更好的泛化性能。如果是SGD，那么更新的大小正比于它的梯度，然而有些分量梯度小，可能仅仅是因为它没初始化好，而并非它不重要，所以Lion的$\text{sign}$操作算是为每个参数都提供了“恢复活力”甚至“再创辉煌”的机会。

然而，细思之下就会发现，这里其实有一个改进空间。“平等地对待了每一个分量”在训练的开始阶段是很合理的，它保留了模型尽可能多的可能。然而，如果一个参数长时间的梯度都很小，那么很有可能这个参数真的是“烂泥扶不上墙”，即已经优化到尽头了，这时候如果还是“平等地对待了每一个分量”，那么就对那些梯度依然较大的“上进生”分量不公平了，而且很可能导致模型震荡。

一个符合直觉的想法是，优化器应该随着训练的推进，慢慢从Tiger退化为SGD。为此，我们可以考虑将更新量设置为
\begin{equation}\boldsymbol{u}_t = \text{sign}(\boldsymbol{m}_t) \times |\boldsymbol{m}_t|^{1-\gamma_t}\end{equation}
这里的绝对值和幂运算都是element-wise的，$\gamma_t$是从1到0的单调递减函数，当$\gamma_t=1$时对应Tiger，当$\gamma_t = 0$时对应SGDM。

可能读者会吐槽这里多了$\gamma_t$这个schedule要调整，问题变得复杂很多。确实如此，如果将它独立地进行调参，那么确实会引入过多的复杂度了。但我们不妨再仔细回忆一下，抛开Warmup阶段不算，一般情况下相对学习率$\alpha_t$不正是一个单调递减至零的函数？我们是否可以借助$\alpha_t$来设计$\gamma_t$呢？比如$\alpha_t/\alpha_0$不正好是一个从1到0的单调递减函数？能否用它来作为$\gamma_t$？当然也有可能是$(\alpha_t/\alpha_0)^2$、$\sqrt{\alpha_t/\alpha_0}$更好，调参空间还是有的，但至少我们不用重新设计横跨整个训练进程的schedule了。

更发散一些，既然有时候学习率我们也可以用非单调的schedule（比如带restart的cosine annealing），那么$\gamma_t$我们是否也可以用非单调的（相当于Tiger、SGDM反复切换）？这些想法都有待验证。

文章小结 #

在这篇文章中，我们提出了一个新的优化器，名为Tiger（Tight-fisted Optimizer，抠门的优化器），它在Lion的基础上做了一些简化，并加入了我们的一些超参数经验。特别地，在需要梯度累积的场景下，Tiger可以达到显存占用的理论最优（抠）解！

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更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

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