这几天网上热传了一道“四鸭共半圆”题目:

四鸭共半圆问题

四鸭共半圆问题

可能有不少读者看到后也尝试做过,就连李永乐老师也专门开了一节课讲这道题(参考《圆形水池四只鸭子在同一个半圆里,概率有多大?》)。就这道题目本身而言,答案并不算困难,可以有很多方法算出来。稍微有难度的是它的推广版本,也就是本文标题所描述的,将鸭子的数目一般化为$n$只,将半圆一般化为圆心角为$\theta$的扇形。更有趣的是,当$\theta \leq \pi$时,依然有比较初等的解法,但是当$\theta > \pi$后,复杂度开始“剧增”...

题目转换 #

首先要说明的是,这里我们是将鸭子抽象为圆内均匀分布随机抽取的点来处理的,那些诸如“鸭子的占地面积”等推广这里我们就不考虑了。就“四鸭共半圆”而言,我们很容易去将它一般化,比如推广到高维空间中:

$d$维超球内均匀分布的$n$个点,它们位于同一个$d$维超半球的概率是多少?

这个推广的答案其实在1962年发表的论文《A Problem in Geometric Probability》就给出了。另一个推广就是本文的标题:

圆内均匀分布的$n$个点,它们位于同一个圆心角为$\theta$的扇形的概率是多少?

本文主要就是讨论这个问题,它还可以等价地转换成(怎么转换请读者自行思考):

圆周上均匀随机地选取$n$个点,将圆周分为$n$段圆弧,最长的圆弧所对的圆心角大于$2\pi - \theta$的概率是多少?

进一步地,可以等价地转换为

单位长线段上均匀随机地选取$n-1$个点,将线段分为$n$段,最长的线段长度大于$1 - \frac{\theta}{2\pi}$的概率是多少?

分布求解 #

其实,最后一个等价表述所涉及的分布,已经被很好地讨论过了,比如知乎上的《在 (0, 1) 内随机取点将区间分成 n 段,最长段的长度期望是多少?》。这里为了方便大家理解,笔者重新组织语言介绍一遍,将会分为几个步骤,整个过程有点长,但这是求通解(适用于$\theta > \pi$)必须的。

顺便指出的是,多个随机变量的最值,属于“顺序统计量(Order Statistic)”之一,在机器学习中也颇为常见,比如《EAE:自编码器 + BN + 最大熵 = 生成模型》介绍的熵的最邻近估计、《从重参数的角度看离散概率分布的构建》介绍的离散分布的一般构建,都可归结为此类。

联合分布 #

从最后一个等价表述出发,设单位长线段被随机的$n-1$个点分为的$n$段,从左到右的长度依次为$x_1,x_2,\cdots,x_n$(注:只是定了个方向,并没有按大小排列),记它们的联合分布的概率密度函数为$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$。知乎链接中的答案是直接基于“$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是均匀分布”这一事实来进行后续求解的,但不知道是不是笔者漏了什么细节,还是哪里没绕过弯,笔者觉得“$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是均匀分布”并不是一件显然成立的事情,所以这里对它进行推导一遍。

首先,留意到两个事实:

1、$x_1,x_2,\cdots,x_n$带有约束$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$,所以它只有$n-1$个自由度,我们取前$n-1$个变量为自由变量;

2、$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是概率密度而非概率,$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1}$才是概率。

为了理解“$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是均匀分布”这一事实,我们从$n=2$出发,此时就是在$(0, 1)$中均匀随机取一个点将线段分为两部分,由于取点是均匀分布的(概率密度是1),取点跟$(x_1, x_2)$一一对应,所以也有$p_2(x_1, x_2)=1$。

接着考虑$n=3$,对应的概率是$p_3(x_1, x_2, x_3)dx_1 dx_2$,它有两种可能:

1、先采样一个点,将线段分为$(x_1, x_2 + x_3)$两段,这部分概率为$p_2(x_1, x_2 + x_3) dx_1$,然后再采样一个点,将$x_2 + x_3$这一段分为$(x_2, x_3)$两段,这部分概率为$dx_2$,所以乘起来是$p_2(x_1, x_2 + x_3) dx_1 dx_2$;

2、先采样一个点,将线段分为$(x_1 + x_2, x_3)$两段,这部分概率为$p_2(x_1 + x_2, x_3) dx_2$,然后再采样一个点,将$x_1 + x_2$这一段分为$(x_1, x_2)$两段,这部分概率为$dx_1$,所以乘起来是$p_2(x_1 + x_2, x_3) dx_1 dx_2$;

两者加起来是
\begin{equation}p_3(x_1, x_2, x_3)dx_1 dx_2 = p_2(x_1, x_2 + x_3) dx_1 dx_2 + p_2(x_1 + x_2, x_3) dx_1 dx_2 = 2dx_1 dx_2\end{equation}
即$p_3(x_1, x_2, x_3)=2$也是一个均匀分布。类似地递推,可以得到
\begin{equation}p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n) = (n - 1) p_{n-1}(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}) = \cdots = (n - 1)!\end{equation}

边缘分布 #

有了联合分布,那么我们就可以求出任选$k$个变量的边缘分布了,这是为下一节使用“容斥原理”作准备的。由于联合分布就是一个均匀分布,所以各个变量是全对称的,因此不失一般性,我们求前$k$个变量的边缘分布即可。

根据定义
\begin{equation}p_n(x_1,x_2,\cdots,x_k) = \int \cdots \int p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n) dx_{k+1}\cdots dx_{n-1}\end{equation}
要注意的是积分上下限,下限自然是$0$,上限对于每个变量都是不一样的,即因为约束$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$的存在,给定$x_1,x_2,\cdots,x_i$后,$x_{i+1}$的取值就只能是$0\sim 1 - (x_1 + x_2 + \cdots + x_i)$,所以准确形式是
\begin{equation}\int_0^{1 - (x_1 + x_2 + \cdots + x_k)} \cdots \left[\int_0^{1 - (x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-2})} p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n) dx_{n-1}\right] \cdots dx_{k+1}\end{equation}
由于$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(n-1)!$只是一个常数,所以上式是可以逐次积分出来的,最终结果是
\begin{equation}p_n(x_1,x_2,\cdots,x_k) = \frac{(n-1)!}{(n - k - 1)!}[1 - (x_1 + x_2 + \cdots + x_k)]^{n-k-1}\end{equation}
这时候我们就可以求出$x_1,x_2,\cdots,x_k$分别大于给定阈值$c_1, c_2, \cdots, c_k$(成立$c_1 + c_2 + \cdots + c_k \leq 1$)的概率:
\begin{equation}\begin{aligned}
&\, \qquad P_n(x_1 > c_1,x_2 > c_2,\cdots,x_k > c_k) = \int_{c_1}^{1 - (c_2 + c_2 + \cdots + c_k)} \cdots
\\
&\, \left[\int_{c_{k-1}}^{1 - (x_1 + x_2 + \cdots + x_{k-2} + c_k)}\left[\int_{c_k}^{1 - (x_1 + x_2 + \cdots + x_{k-1})} p_n(x_1,x_2,\cdots,x_k) dx_k\right]dx_{k-1}\right] \cdots dx_1
\end{aligned}\end{equation}
这里积分上限跟前面类似,都是在约束$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1$下进行推导的。跟$p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)$一样,上式也是可以逐次积分出来的,最终结果反而很简单
\begin{equation}P_n(x_1 > c_1,x_2 > c_2,\cdots,x_k > c_k) = [1 - (c_1 + c_2 + \cdots + c_k)]^{n-1}\end{equation}

容斥原理 #

现在一切准备就绪,轮到“容斥原理”来完成“最后一击”了。别忘了我们的目标是求出最长段长度的概率,即对于某个阈值$x$,计算出$P_n(\max(x_1,x_2,\cdots,x_n) > x)$,而$\max(x_1,x_2,\cdots,x_n) > x$这件事本身是多个事件的并集:
\begin{equation}\max(x_1,x_2,\cdots,x_n) > x \quad\Leftrightarrow\quad x_1 > x \,\color{red}{\text{或}}\, x_2 > x \,\color{red}{\text{或}}\, \cdots \,\color{red}{\text{或}}\, x_n > x \end{equation}
关键是,当$x < \frac{1}{2}$时,各个事件之间并非不相交的,所以不能直接将每一部分的概率简单相加,而需要用到“容斥原理”:
\begin{equation}\begin{aligned}
\text{存在一点大于}x\text{的概率} = &\,\text{任一点大于}x\text{的概率之和} \\
&\,\quad \color{red}{-} \text{任两点都大于}x\text{的概率之和} \\
&\, \quad\quad \color{red}{+} \text{任三点都大于}x\text{的概率之和} \\
&\, \quad\quad\quad \color{red}{-} \text{任四点都大于}x\text{的概率之和} \\
&\, \quad\quad\quad\quad \color{red}{+} \cdots
\end{aligned}\end{equation}
根据上一节的结果,任选$k$点,每一点都大于$x$的概率为$(1-kx)^{n-1}$,而任选$k$点的组合数为$C_n^k$,所以代入上式得
\begin{equation}\begin{aligned}
P_n(\max(x_1,x_2,\cdots,x_n) > x) =&\, \sum_{k=1, 1 - kx > 0}^n (-1)^{k-1} C_n^k (1-kx)^{n-1} \\
=&\, C_n^1 (1 - x)^{n-1} - C_n^2 (1 - 2x)^{n-1} + \cdots
\end{aligned}\end{equation}

答案分析 #

对于本文开始的题目来说,即$x = 1 - \frac{\theta}{2\pi}$,当$x > \frac{1}{2}$(即$\theta < \pi$)时,后面的$1 - k x$都小于0了,即实际上不存在,因此答案是最简单的:
\begin{equation}C_n^1 (1 - x)^{n-1} = n \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^{n-1}\end{equation}
当$x < \frac{1}{2}$时,看$x$的具体大小来增减项,$x$越小,项数相对来说越多,这就是李永乐老师文章说的“当$\theta$大于180度时,情况将变得非常复杂”了。

我们也可以求它的期望,这知乎上的提问所讨论的问题。还有一个有意思的情况,显然当$x < \frac{1}{n}$时,恒有$1 - kx > 0$,即所有项都需要用上了:
\begin{equation}P_n(\max(x_1,x_2,\cdots,x_n) > x) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} C_n^k (1-kx)^{n-1}\end{equation}
然而根据“抽屉原理”我们可以得知,将单位长线段分为$n$段后,最长的一段的长度必然是不小于$\frac{1}{n}$的,这意味着$P_n(\max(x_1,x_2,\cdots,x_n) > \frac{1}{n}) = 1$,因此当$x < \frac{1}{n}$时,必然成立
\begin{equation}\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} C_n^k (1-kx)^{n-1} = 1\end{equation}
又因为左端仅仅是简单的代数多项式,因此它必然是解析的,所以上式对于所有的$x$都恒成立。感兴趣的读者,不妨试试直接从代数角度证明它。

文章小结 #

本文讨论了“四鸭共半圆”的推广问题的一般解法,其中主要思想是容斥原理。

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苏剑林. (Oct. 25, 2022). 《圆内随机n点在同一个圆心角为θ的扇形的概率 》[Blog post]. Retrieved from https://www.kexue.fm/archives/9324

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        title={圆内随机n点在同一个圆心角为θ的扇形的概率},
        author={苏剑林},
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