浅谈神经网络中激活函数的设计

激活函数是神经网络中非线性的来源，因为如果去掉这些函数，那么整个网络就只剩下线性运算，线性运算的复合还是线性运算的，最终的效果只相当于单层的线性模型。

那么，常见的激活函数有哪些呢？或者说，激活函数的选择有哪些指导原则呢？是不是任意的非线性函数都可以做激活函数呢？

这里探究的激活函数是中间层的激活函数，而不是输出的激活函数。最后的输出一般会有特定的激活函数，不能随意改变，比如二分类一般用sigmoid函数激活，多分类一般用softmax激活，等等；相比之下，中间层的激活函数选择余地更大一些。

浮点误差都行！ #

理论上来说，只要是非线性函数，都有做激活函数的可能性，一个很有说服力的例子是，最近OpenAI成功地利用了浮点误差来做激活函数，其中的细节，请阅读OpenAI的博客：
https://blog.openai.com/nonlinear-computation-in-linear-networks/

或者阅读机器之心的介绍：
https://mp.weixin.qq.com/s/PBRzS4Ol_Zst35XKrEpxdw

尽管如此，不同的激活函数其训练成本是不同的，虽然OpenAI的探索表明连浮点误差都可以做激活函数，但是由于这个操作的不可微分性，因此他们使用了“进化策略”来训练模型，所谓“进化策略”，是诸如遗传算法之类的耗时耗力的算法。

Relu开创的先河 #

那加上可微性，使得可以用梯度下降来训练，是不是就没问题了呢？其实也不尽然，神经网络发明之初，一般使用的是Sigmoid函数作为激活函数
$$\begin{equation}\text{sigmoid}(x)=\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\end{equation}$$
这个函数的特点就是左端趋近于0，右端趋近于1，两端都趋于饱和，如下图

而因为这样，它在两端的导数都趋于0，而因为我们是用梯度下降优化的，导数趋于零，使得每次更新的量都很少（正比于梯度），所以更新起来比较困难。尤其是层数多了之后，由于求导的链式法则，那么每次更新的量就正比于梯度的$n$次方，优化就更加困难了，因此刚开始的神经网络都做不深。

一个标志性的激活函数就是ReLu函数，它的定义很简单：
$$\begin{equation}\text{relu}(x)=\max(x,0)\end{equation}$$
其图像是

这是个分段线性函数，显然其导数在正半轴为1，负半轴为0，这样它在整个实数域上有一半的空间是不饱和的。相比之下，sigmoid函数几乎全部区域都是饱和的（饱和区间占比趋于1，饱和的定义是导数很接近0）。

ReLu是分段线性函数，它的非线性性很弱，因此网络一般要做得很深。但这正好迎合了我们的需求，因为在同样效果的前提下，往往深度比宽度更重要，更深的模型泛化能力更好。所以自从有了Relu激活函数，各种很深的模型都被提出来了，一个标志性的事件是应该是VGG模型和它在ImageNet上取得的成功，至于后来的发展就不详细说了。

更好的Swish #

尽管ReLu的战绩很辉煌，但也有人觉得ReLu函数还有一半区域饱和是一个很大的不足，因此提出了相关的变种，如LeakyReLU、PReLU等，这些改动都大同小异。

前几天，Google大脑团队提出了一个新的激活函数，叫Swish，其消息可以参考
http://mp.weixin.qq.com/s/JticD0itOWH7Aq7ye1yzvg

其定义为
$$\begin{equation}\text{swish}(x)=x\cdot\sigma(x)=\frac{x}{1+e^{-x}}\end{equation}$$
其图像如下

团队的测试结果表明该函数在很多模型都优于ReLu。

从图像上来看，Swish函数跟ReLu差不多，唯一区别较大的是接近于0的负半轴区域。马后炮说一句，其实这个激活函数就连笔者也思考过，因为这跟facebook提出的GLU激活函数是类似的，GLU激活函数为
$$\begin{equation}(\boldsymbol{W}_1\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}_1)\otimes \sigma(\boldsymbol{W}_2\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}_2)\end{equation}$$
也就是说，分别训练两组参数，其中一组用sigmoid激活，然后乘上另一组，这里的$\sigma(\boldsymbol{W}_2\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}_2)$就称为“门”，也就是GLU中的G的意思（gate）。而Swish函数则相当于两组参数都取同样的，只训练一组参数。

改进思路 #

Swish函数惹来了一些争议，有些人认为Google大脑小题大作了，简单改进一个激活函数，小团队就可以玩了，Google大脑这些大团队应该往更高端的方向去做。但不过怎样，Google大脑做了很多实验，结果都表明Swish优于ReLu。那么我们就需要思考一下，背后的原因是什么呢？

下面的分析纯属博主的主观臆测，目前没有理论或实验上的证明，请读者斟酌阅读。我觉得，Swish优于ReLu的一个很重要的原因是跟初始化有关。

Swish在原点附近不是饱和的，只有负半轴远离原点区域才是饱和的，而ReLu在原点附近也有一半的空间是饱和的。而我们在训练模型时，一般采用的初始化参数是均匀初始化或者正态分布初始化，不管是哪种初始化，其均值一般都是0，也就是说，初始化的参数有一半处于ReLu的饱和区域，这使得刚开始时就有一半的参数没有利用上。特别是由于诸如BN之类的策略，输出都自动近似满足均值为0的正态分布，因此这些情况都有一半的参数位于ReLu的饱和区。相比之下，Swish好一点，因为它在负半轴也有一定的不饱和区，所以参数的利用率更大。

前面说到，就连笔者都曾思考过Swish激活函数，但没有深入研究，原因之一是它不够简洁漂亮，甚至我觉得它有点丑～～看到Swish的实验结果那么好，我想有没有类似的、更加好看的激活函数呢？我想到了一个
$$\begin{equation}x\cdot\min(1,e^x)\end{equation}$$
它的图像是

其实样子跟Swish差不多，思路大概是正半轴维持$x$，负半轴想一个先降后升还趋于0的函数，我想到了$xe^{-x}$，稍微调整就得到了这个函数了。在我的一些模型中，它的效果甚至比Swish要好些（在我的问答模型上）。当然我只做了一点实验，就不可能有那么多精力和算力去做对比实验了。

与Swish的比较，橙色是Swish。

要提醒的是，如果要用这个函数，不能直接用这个形式写，因为$e^x$的计算可能溢出，一种不会溢出的写法是
$$\begin{equation}\max(x, x\cdot e^{-|x|})\end{equation}$$
或者用ReLu函数写成
$$\begin{equation}x + \text{relu}(x\cdot e^{-|x|}-x)\end{equation}$$

难道好用的激活函数都像我们作业上的勾（√）？

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