MoE环游记：4、难处应当多投入

前两篇文章我们都在讨论负载均衡，其中在《MoE环游记：3、换个思路来分配》介绍Loss-Free方案时，笔者留了一个悬念：它引入的Bias项有一个冗余的自由度，这个自由度可以用来做另外有趣的事情。这篇文章我们就来讨论这件事。

我们知道，MoE是为每个Token只选择最匹配的$k$个Expert来进行计算，从而在增大参数量的同时还节省了计算量。然而，当我们仔细思考就会发现，这个策略实际上有明显的可改进之处：直观来看，每个Token的难度并不一样，所以更合理的方案应该是难的Token分配更多的计算资源，简单的token分配更少的资源，这样或许能在同样有限的资源下将效果最大化。

而刚才提到的Bias的额外自由度，恰好可以用来简单地实现这个目标。

设计思想 #

首先，我们回顾一下，MoE的基本形式是
\begin{equation}\boldsymbol{y} = \sum_{i\in \mathop{\text{argtop}}_k \boldsymbol{\rho}} \rho_i \boldsymbol{e}_i\end{equation}
负载不均衡是MoE训练常见的问题，对此研究人员提出了Aux Loss，这部分工作我们介绍于《MoE环游记：2、不患寡而患不均》。此外，在《MoE环游记：3、换个思路来分配》我们介绍了DeepSeek提出的Loss-Free方案，它将MoE改为
\begin{equation}\boldsymbol{y} = \sum_{i\in \mathop{\text{argtop}}_k \boldsymbol{\rho} + \boldsymbol{b}} \rho_i \boldsymbol{e}_i\end{equation}
然后通过调节新引入的Bias项$\boldsymbol{b}$来实现负载均衡。为了实现每个Token可以选择动态数量的Expert，笔者提出的做法是将Loss-Free的形式稍微修改一下：
\begin{equation}\boldsymbol{y} = \sum_{i\in \mathop{\text{argwhere}} \boldsymbol{\rho} + \boldsymbol{b} > 0} \rho_i \boldsymbol{e}_i\end{equation}
即只要满足$\rho_i + b_i > 0$的Expert就被选中，这样每个Token选出的Expert数量自然是动态的，并且免除了排序的需求，某种程度上看还变得更简化了。

优化目标 #

$\boldsymbol{b}$的优化目标有两个：一是跟Loss-Free一样，要实现负载均匀；二是要控制每个Token被选中的平均Expert数为$k$，这我们可以称为预算控制，要不然直接$b_i = \infty$将所有Expert都选出来就行了，但这不是我们想要的。

负载均衡依然采样Loss-Free的训练方式。定义记号$\boldsymbol{f} = [f_1, f_2, \cdots, f_n]$
\begin{equation}f_i = \left\{\begin{aligned}1, \quad \rho_i + b_i > 0 \\
0, \quad \rho_i + b_i \leq 0\end{aligned}\right.\end{equation}
然后记$\tilde{\boldsymbol{F}}=\mathbb{E}[\boldsymbol{f}]$，那么$\boldsymbol{F} = \tilde{\boldsymbol{F}}/|\tilde{\boldsymbol{F}}|$就是当前Expert分布，其中$|\tilde{\boldsymbol{F}}|$是$\tilde{\boldsymbol{F}}$的各分量之和。Loss-Free提出的更新公式是：
\begin{equation}\boldsymbol{b}\leftarrow \boldsymbol{b} - \alpha \mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q})\label{eq:aux-loss-free}\end{equation}
其中$\boldsymbol{Q}=(1/n, 1/n, \cdots, 1/n)$是目标的均匀分布。我们提到多次，$\boldsymbol{b}$存在一个冗余的自由度，体现在对$\boldsymbol{b}$所有分量加上同一个常数，排序结果不变。这样一来，我们可以把更新规则$\eqref{eq:aux-loss-free}$改为
\begin{equation}\boldsymbol{b}\leftarrow \boldsymbol{b} - \alpha \left[\mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}) - \overline{\mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q})}\right]\label{eq:aux-loss-free-2}\end{equation}
这里向量上面加一横代表该向量的全体分量的均值，是一个标量，向量减标量代表每个分量都减去这个标量。这样一来出来的$\boldsymbol{b}$必然满足$\overline{\boldsymbol{b}}=0$，但不改变负载均衡的效果。于是我们可以$\overline{\boldsymbol{b}}$这个自由度留给预算控制。

怎么理解呢？很明显，如果给全体$b_i$都加上同一个正数，那么满足$\rho_i + b_i > 0$的几率将会变大，从而总预算也会增大。所以做法很简单，先算出当前平均预算，不难发现正好是$|\tilde{\boldsymbol{F}}|$，如果它大于$k$，那么就调小一点$\boldsymbol{b}$，反之则增大。整合到式$\eqref{eq:aux-loss-free-2}$是
\begin{equation}\boldsymbol{b}\leftarrow \boldsymbol{b} - \alpha \left[\mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}) - \overline{\mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q})} + \mathop{\text{sign}}(|\tilde{\boldsymbol{F}}|- k)\right]\label{eq:aux-loss-free-3}\end{equation}
如果只想保证预算不超过$k$，而不非要等于$k$，那么可以改为当$|\tilde{\boldsymbol{F}}| < k$时不作改变
\begin{equation}\boldsymbol{b}\leftarrow \boldsymbol{b} - \alpha \left[\mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}) - \overline{\mathop{\text{sign}}(\boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q})} + \mathop{\text{sign}}(\max(|\tilde{\boldsymbol{F}}|- k,0))\right]\label{eq:aux-loss-free-4}\end{equation}

尝试简化 #

细细品味式$\eqref{eq:aux-loss-free-3}$，我们会发现它做了两件事，一是让$\boldsymbol{F}=\tilde{\boldsymbol{F}}/|\tilde{\boldsymbol{F}}|$逼近$\boldsymbol{Q}$，二是让$|\tilde{\boldsymbol{F}}|$逼近$k$。这看起来可以合并成一件事：让$\tilde{\boldsymbol{F}}$逼近$\tilde{\boldsymbol{Q}}=k\boldsymbol{Q}=(k/n,k/n,\cdots,k/n)$。于是式$\eqref{eq:aux-loss-free-3}$可以简化为
\begin{equation}\boldsymbol{b}\leftarrow \boldsymbol{b} - \alpha \mathop{\text{sign}}(\tilde{\boldsymbol{F}} - \tilde{\boldsymbol{Q}})\label{eq:aux-loss-free-5}\end{equation}

笔者将式$\eqref{eq:aux-loss-free-3}$和式$\eqref{eq:aux-loss-free-5}$都做了实验，发现它们在效果上大同小异，但是式$\eqref{eq:aux-loss-free-5}$的负载均衡和预算控制两个指标在训练前期的抖动都大很多，所以追求稳定性的读者可以优先考虑式$\eqref{eq:aux-loss-free-3}$或$\eqref{eq:aux-loss-free-4}$，追求简洁的读者则可以考虑式$\eqref{eq:aux-loss-free-5}$。

考虑到$\mathop{\text{sign}}$只保留了$\tilde{F}_i - \tilde{Q}_i$的符号而忽略了绝对值的大小，笔者也尝试RMS Norm替代$\mathop{\text{sign}}$：
\begin{equation}\boldsymbol{b}\leftarrow \boldsymbol{b} - \alpha (\tilde{\boldsymbol{F}} - \tilde{\boldsymbol{Q}})/\Vert\tilde{\boldsymbol{F}} - \tilde{\boldsymbol{Q}}\Vert_{RMS}\end{equation}
其中向量的$\Vert\cdot\Vert_{RMS}$是指分量的平方和的平方根。很明显$\mathop{\text{sign}}$的RMS是1，而RMS Norm之后RMS也为1，所以两者更新的数量级相同，可以用同一个$\alpha$。由于RMS Norm保留了$\tilde{F}_i - \tilde{Q}_i$的相对大小，可以做到误差小的更新也小，所以在波动程度上比$\mathop{\text{sign}}$略小，但也好得不多。

当然，用RMS Norm替换$\mathop{\text{sign}}$来增加稳定性是一个通用技巧，式$\eqref{eq:aux-loss-free}$、$\eqref{eq:aux-loss-free-2}$、$\eqref{eq:aux-loss-free-3}$或$\eqref{eq:aux-loss-free-4}$都可以做这样的替换，这就看个人审美了，总之只是略稳但不多。

初始方式 #

解决完$\boldsymbol{b}$的更新规则，我们来考虑$\boldsymbol{b}$的初始化，这是一个有意思但不算十分关键的问题。

按照常规做法，$\boldsymbol{b}$全零初始化且$\boldsymbol{\rho}$用Sigmoid激活，那么初始阶段会把$n$个Expert都选出来，明显超出$\leq k$的预算，这将会导致非常多的Token Drop。不过，如果我们没有强迫症的话，这并不是很严重的问题，因为模型其他参数通常会加Warmup但$\boldsymbol{b}$通常不加，所以在Warmup的前几步模型就会自动把这个问题解决了。

如果我们介意这一点，那么可以通过调整$\boldsymbol{b}$初始化来控制初始预算。假设Router的输入是$d$维向量，满足零均值、单位方差（有RMSNorm在，近似成立），Router的权重初始化方差为$\sigma^2$，那么Router的Logits近似为零均值、$\sigma^2 d$方差。有了这些数据，我们可以用正态近似模拟加二分法估算一个初始$\boldsymbol{b}$：

import numpy as np

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

def b_init(n, k, d, sigma, eps=0.1):
    b1, b2 = -1, 0
    std = sigma * d**0.5
    logits = np.random.randn(10000, n) * std
    scores = sigmoid(logits)
    while True:
        b = (b1 + b2) * 0.5
        c = ((scores + b) > 0).sum(1).mean()
        if -eps < c - k < eps:
            return b
        elif c > k:
            b2 = b
        else:
            b1 = b

b_init(32, 4, 1024, 6e-3)

代码中考虑的是Sigmoid激活，所以搜索区间是$[-1, 0]$，如果是其他激活函数请自行调整。不过这里的建议跟《MoE环游记：3、换个思路来分配》一文是相同的，即加$\boldsymbol{b}$的$\boldsymbol{\rho}$可以统一用Sigmoid激活，乘上Expert的$\boldsymbol{\rho}$才考虑用别的激活函数。

相关工作 #

这篇文章之前，已经有一些工作尝试过动态选择Expert数目的MoE设计，下面简单列举一些笔者搜到的工作，并从个人的审美角度做一些简单的评析。

比较朴素的做法是AdaMoE和MoE++，它们在Expert中混入了一些低计算成本的Expert，如空白Expert、复制Expert、常数Expert，同时也鼓励负载均衡，这样当Token选中这些简单Expert时，等价于少选择了其他标准的Expert，从而间接地实现了动态数目。这样做的好处是可以复用原本Top-$k$ MoE的基建，但同时也欠缺了一些灵活性。

另外一个朴素的想法是将Top-$k$选择改为Top-$p$，出自《Harder Tasks Need More Experts: Dynamic Routing in MoE Models》。这个转换看上去很自然，但实际上有颇多问题，比如无法准确控制平均预算，因为当$\boldsymbol{\rho}$接近均匀分布时Top-$p$的比例会非常大，所以原论文又新增了一项熵损失来让$\boldsymbol{\rho}$远离均匀分布。总的来说，个人感觉它引入的问题比收益更明显。

一个比较独特的做法是Ada-K Routing，它新增一个模块来预测要激活的Expert数，然后用强化学习来训练，这样做在原理上没问题，但引入强化学习无疑会增加训练复杂性。DA-MoE则利用Attention分数来识别重要Token，为其分配更多Expert，但感觉不够本质，因为“MoE”原则上不局限于FFN层，一旦用到Attention上，不就没有Attention分数可用了？

形式上跟本文做法最相似的可能是ReMoE，它同样是基于零阈值来选择Expert，但选择了Aux Loss的方式来实现负载均匀以及预算控制，同时又混合了手搓梯度的思想来控制Aux Loss权重，总体来看多了点糅合感。本文则延续了Loss-Free的思想，利用$\boldsymbol{b}$的额外自由度来调控这个阈值，从而以最小的改动实现了动态Expert数目。

文章小结 #

本文提出了一种动态选择Expert数目的MoE设计，主要思想是对Loss-Free的MoE形式稍作修改，然后调整Bias项的更新规则，利用它的额外自由度来同时实现负载均衡和预算控制。

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