齐次对称多项式初等表示的新尝试
By 苏剑林 | 2013-07-05 | 26142位读者 | 引用这是我的这学期高等代数课的一个小论文。说到这里,其实我挺喜欢那些不用考试,通过平时考核以及写论文、报告或者做实验的方式来评成绩的方式,毕竟我觉得这才是比较综合地体现了知识和技能的水平(当然更重要的一个原因是我比较喜欢写作啦~~)。我们高等代数有两门课程,一是基本的上课,二是研讨课,分别考核。老师照顾我们,研讨课不用考试,写小论文就行了。Yeah~~
我写的是有关对称多项式的。其实这文章在半个学期之前就酝酿着了,当时刚学到对称多项式的初等表示。所谓初等表示,就是将一个多元对称多项式表示为$\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,...$的组合。其中
$$\begin{aligned}\sigma_1=x_1+x_2+...+x_n \\ \sigma_2=x_1 x_2+x_1 x_3+...+x_1 x_n+x_2 x_3+...+x_{n-1} x_n \\ ... \\ \sigma_n=x_1 x_2 ... x_n\end{aligned}$$
书本上给出了待定系数法,但是每次都要求解方程组,让我甚是烦恼,所以我研究直接展开的方案,最终得出了两种方法。当时也刚好接触着张量的知识,了解到“爱因斯坦求和约定”,于是想充分发挥其威力,就促成了这篇文章。其实我自定义了“方括弧”和“圆括弧”两种运算,都是符号上的简化。两种方法在某种意义上相互补充,笔者自感颇为满意,遂与大家分享。具体内容就不贴出来了,请大家下载pdf文件观看吧。
当Matlab遇上牛顿法
By 苏剑林 | 2013-05-22 | 58158位读者 | 引用牛顿法是求方程近似根的一个相当有用而且快捷的方法,我们最近科学计算软件课程(Matlab)的一个作业就是编写求方程近似解的程序,其中涉及到牛顿法。我们要实现的目标是,用户输入一道方程,脚本就自动求出根来。这看起来是一个挺简单的循环迭代程序,但是由于Matlab本身的特殊性,却产生了不少困难。
Matlab是为了数值计算(尤其是矩阵运算)而生的,因此它并不擅长处理符号计算。这就给我们编程带来了困难。在网上随便一搜,就可以发现,网上的Matlab牛顿法程序都是要求用户同时输入方程及其导函数,这显然是不方便的,因为Matlab本身就具备了求导功能。下面我们来分析一下困难在哪里。
我们要实现的最基本功能是定义一个函数,然后可以根据该函数求具体的函数值,并且自动求该函数的导数,接着求导数值。这些看起来很基本的功能在Matlab中却很难调和,因为Matlab的“函数”定义很广,一个具有特定功能的M文件叫“函数”,一个运算式$f(x)$也可能是一个函数,显然后者是可以求导的,前者却不行,所以Matlab一刀砍——不能对函数求导!!
正项级数敛散性最有力的判别法?
By 苏剑林 | 2013-05-17 | 93411位读者 | 引用在学习正项级数的时候,我们的数学分析教材提供了各种判别法,比如积分判别法、比较判别法,并由此衍生出了根植法、比值法等,在最后提供了一个比较精细的“Raabe判别法”。这些方法的精度(强度)各不相同,一般认为“Raabe判别法”的应用范围最广的。但是在我看来,基于p级数的比较判别法已经可以用于所有题目了,它才是最强的方法。
p级数就是我们熟悉的
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$
通过积分判别法可以得到当p>1时该级数收敛,反之发散。虽然我不能证明,但是我觉得以下结论是成立的:
若正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛,则总可以找到一个常数A以及一个大于1的常数p,使每项都有$a_n < \frac{A}{n^p}$。
昨天在上“科学计算软件”课时,讲到了一个“抢15”游戏(Pick15),就是在1~9这9个数字中,双方轮流选一个数字,不可重复,谁的数字中有三个数字的和为15的,谁就是赢家。
这是个简单的游戏,属于博弈论范畴。在博弈论中有一个著名的“策梅洛定理”(Zermelo's theorem),它指出在二人的有限游戏中,如果双方皆拥有完全的资讯,并且运气因素并不牵涉在游戏中,那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。比如中国象棋就属于这一类游戏,它告诉我们对于其中一方必有一种必不败策略(有可能和棋,有可能胜,反正不会输)。当然,策梅洛定理只是告诉我们其存在性,并没有告诉我们怎么发现这个策略,甚至连哪一方有这种最优策略都没有给出判别方法。这是幸运的,因为如果真有一天发现了这种策略,那么像象棋这类博弈就失去了意义了。
上述的抢15游戏当然也属于这类游戏。不同于象棋的千变万化,它的变化比较简单,而且很容易看出它对先手有着明显的优势。下面我们来分析一下。
第四波:2^29360741-1不是素数!
By 苏剑林 | 2013-04-15 | 16279位读者 | 引用第四个数字也完成了测试,这次的结果依然是否定的:$2^{29360741}-1$不是素数!
大概半年内不会有新的结果了,呵呵。
[Comm thread Apr 15 19:04] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29360741 is not prime. Res64: 622E909193F04555. We4: CA6D304A,26268761,00000000, AID:
[Comm thread Apr 15 19:04]
[Comm thread Apr 15 19:05] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 15 19:05] LL test successfully completes double-check of M29360741
[Comm thread Apr 15 19:05] CPU credit is 29.1976 GHz-days.
[Comm thread Apr 15 19:05] Done communicating with server.
2^29365451-1不是素数
By 苏剑林 | 2013-04-14 | 15717位读者 | 引用这是第三个结果,估计明天会有第四个结果。运行完这四个后就让电脑好好休息一下了,呵呵。
同样,$2^{29365451}-1$也不是素数!
[Comm thread Apr 14 14:51] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365451 is not prime. Res64: C3207F669EEAE07E. We4: 46622147,3026845,00000000, AID:
[Comm thread Apr 14 14:51]
[Comm thread Apr 14 14:51] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 14 14:51] LL test successfully completes double-check of M29365451
[Comm thread Apr 14 14:51] CPU credit is 29.2023 GHz-days.
[Comm thread Apr 14 14:51] Done communicating with server.
费曼积分法(8):求高斯积分
By 苏剑林 | 2013-04-14 | 57241位读者 | 引用自从了解了费曼积分法之后,我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分,但一直无果。在《数学桥》里边,作者是通过将其转变为二重积分来解决的,简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力,我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分,眼睛不禁为之一亮,不过这属于积分变换内容,属于“积分符号内取积分”的技巧,在此不作讨论。今天在网上查找资料时,在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中,看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法,特与大家分享。
从“事后分析”来看,高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量,一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少,可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的,所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$
2^29365247-1也不是素数!
By 苏剑林 | 2013-04-09 | 16020位读者 | 引用第二个数字也测试完了,$2^{29365247}-1$也不是一个素数。继续努力!
[Comm thread Apr 9 12:22] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365247 is not prime. Res64: AFA532C54A91F89B. We4: D8A82DF8,3429750,00000000, AID: C
[Comm thread Apr 9 12:22]
[Comm thread Apr 9 12:22] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 9 12:22] LL test successfully completes double-check of M29365247
[Comm thread Apr 9 12:22] CPU credit is 29.2021 GHz-days.
[Comm thread Apr 9 12:22] Done communicating with server.
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