费曼积分法(8)：求高斯积分

自从了解了费曼积分法之后，我就一直想着用费曼积分法来求高斯积分$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$这个神奇的积分，但一直无果。在《数学桥》里边，作者是通过将其转变为二重积分来解决的，简洁而巧妙。但是为了显示费曼积分法的威力，我一直想找到高斯积分的其他求法。上星期在《数学物理方法》中看到作者用拉普拉斯变换求出了该积分，眼睛不禁为之一亮，不过这属于积分变换内容，属于“积分符号内取积分”的技巧，在此不作讨论。今天在网上查找资料时，在“赵洁”的一篇论文《含参变量积分》中，看到了一种属于费曼积分法范畴内的方法，特与大家分享。

从“事后分析”来看，高斯积分的结果涉及到了$\sqrt{\pi}$这个量，一般来说我们常见的公式出现$\pi$的不少，可是几乎没有出现$\sqrt{\pi}$的，所以一般来说我们都将它平方。我们引入
$$f(x)=(\int_0^x e^{-t^2}dt)^2$$

这极大拓展了我在费曼积分法的视野，我几乎没想过可以把参数放在积分区间里边，这样做有什么好处呢？我们对x求导：
$$f'(x)=2\int_0^x e^{-t^2}dt \times e^{-x^2}=2\int_0^x e^{-(t^2+x^2)}dt$$

原来这样子求导之后就将两个积分相乘变成了一个积分乘以一个单独的项！这样子会起到简化作用，作代换$t=ux$，则
$$f'(x)=\int_0^1 2x e^{-(1+u^2)x^2}du$$

现在我们往回推。
$$f(x)=\int (\int_0^1 2x e^{-(1+u^2)x^2}du)dx= \int_0^1 [ \int(2x e^{-(1+u^2)x^2}dx)]du$$

即
$$f(x)=-\int_0^1(\frac{e^{-(1+u^2)x^2}}{1+u^2})du+C$$

当x=0时，可以求出$f(0)=0$，而$\int_0^1(\frac{e^{-(1+u^2)x^2}}{1+u^2})du=\frac{\pi}{4}$，所以$C=\frac{\pi}{4}$。即：
$$f(x)=-\int_0^1(\frac{e^{-(1+u^2)x^2}}{1+u^2})du+\frac{\pi}{4}$$

高斯积分相当于$x\to +\infty$，那么
$$\lim_{x\to +\infty} \int_0^1(\frac{e^{-(1+u^2)x^2}}{1+u^2})du=0$$

所以$f(+\infty)=\frac{\pi}{4}$，所以：
$$\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

太妙了！！这集合了各种技巧于一身。极大地拓展了我们对费曼积分法的看法。要注意我们以前使用费曼积分法都是求出了含参积分的具体形式，这里没有，它只是取了两个特定的点的值！但是这已经足够了！这就给我们了一种全新的视角，以后我们会更有力地发挥这种技巧！

《数学桥》里边的解法：
记$I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx$，则
$$\begin{aligned}I^2=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx \times \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}dy \\ =\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}dxdy\end{aligned}$$
转换成极坐标，就有：
$$\begin{aligned}I^2=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2}r dr d\theta \\ =\int_{0}^{2\pi} (-\frac{1}{2} e^{-r^2}|_0^{\infty})d\theta \\ =\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta \\ =\pi\end{aligned}$$
所以$I=\sqrt{\pi}$
整个过程如行云流水，堪称一绝！

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