未来的天地枢纽——太空天梯

漫话
BoJone认为，科学的意义并非在于无休止地计算，而是利用有限的科学理论来解释尽可能多的自然、生活现象。正因如此，科学家们追求和谐、简洁、优美的科学理论。科学就是想方设法地把未知变成已知，并在此基础上进一步发展。

随着媒体技术的发展，我们接触信息的渠道越来越多。每每我们从互联网或报纸上看到一则科学新闻时，我们几乎都会为之兴奋。但是，外行看热闹，内行看门道。对于真正热爱科学的朋友来说，也许会更加感兴趣新闻内容的来由。也就是说，我们希望进一步了解结论是怎样得出来的——哪怕只是在很浅的层面上认识。

天梯
以下内容来自互联网

1895年，俄罗斯科学家首次提出太空梯概念，历经上百年研究，这个梦想仍未实现。太空梯基本上就是一条长长的缆绳---一端固定在地球上，另一端固定在地球同步轨道的平衡物（如大卫星）上。在引力和向心加速度的相互作用下，缆绳被绷紧，太空梯将利用太阳能或激光能沿缆绳上下运动。

从上世纪末起，美国NASA(美国国家航空航天局)和一些高科技公司就开始大力研究从地球上建造“太空电梯”通向10万公里高的太空中的可行性。然而，由于建造“太空电梯”所用的碳纳米绳技术过难，成本过高，“太空电梯”至今仍停留在美好的蓝图阶段。

最近，美国、日本都对外宣布要建造长达几万甚至十几万公里的天梯。实际上，美国宇航局近年来确实非常重视太空梯项目，已将建设太空梯列为了“百年挑战”计划的首个项目。美国的迈克尔·莱恩在2003年成立了LiftPort公司，投入巨资研究从地球通往太空的天梯。

分析

也许有的朋友会感到纳闷：为什么宇航局们非要一建就建数万公里的天梯，而不是先建数百或数千公里的天梯呢？下面我们来分析一下天梯的长度。为了尽可能比减少能源消耗，我们希望能够利用引力与惯性离心力来维持平衡。这就要求天梯高度要满足一定条件。为了简化计算，我们设想天梯是一根均匀的线，如图，设线密度为λ。由于天梯相对地球是静止的，因此线上的每一个点都在做角速度等于地球自转角速度的圆周运动（目前只考虑地球引力）。我们首先计算地球对此天梯的引力。设地球质量为M，天梯总质量为m。

天梯上一个距离地心r处、质量为dm的点，所受到地球的引力为$dF_G=\frac{GMdm}{r^2}=frac{GM\lambda dr}{r^2}$，那么总引力为
$$F_G=\int_R^{R+h} frac{GM\lambda dr}{r^2}=\frac{GM\lambda h}{R(R+h)}=\frac{GMm}{R(R+h)}$$

接着分析惯性离心力，天梯上一个距离地心r处、质量为dm的点，其惯性离心力为$dF_C=dm*r\omega^2=\lambda \omega^2 rdr$，那么总离心力为
$$F_C=\int_R^{R+h} \lambda \omega^2 rdr=\frac{\lambda h \omega^2}{2}(2R+h)=\frac{m\omega^2}{2}(2R+h)$$

当两者相等时
$$\begin{aligned}\frac{GMm}{R(R+h)}=\frac{m\omega^2}{2}(2R+h) \\ h=\sqrt{\frac{2GM}{\omega^2 R}+(R/2)^2}-\frac{3R}{2} \\ h=\sqrt{\frac{v_2^2}{\omega^2 }+\frac{R^2}{4}}-\frac{3R}{2}\end{aligned}$$

其中$v_2$是第二宇宙速度。对于地球来说，h大约为14万公里。

成本
从上面计算可知，h与天梯质量无关，那为什么还希望用更轻的材料制造天梯呢？实际上，长达10万公里的天梯得用运载火箭运送到10万公里之外，这就不得不考虑质量了。因为基本上运送成本与质量和距离都成正比（该说法其实不严格，严格只能说是质量越大、距离越长，成本越高）。此外，质量越低，就表明质量越可以被忽略，于是稳定性更强。

善于思考的朋友会设置这样一个方案：天梯顶端放一个质量为m'的质点，以下部分才用均匀材料。不错，这个想法很好，这会缩短天梯的长度，然而天梯的总质量会增加。此时平衡方程是：
$$\frac{GM\lambda h}{R(R+h)}+\frac{GMm'}{(R+h)^2}=\frac{\lambda h\omega^2}{2}(2R+h)+m'(R+h)\omega^2$$

我们总会发现总质量$\lambda h+m'$会更大。不过，这个想法并不失可行。因为“运送成本与质量和距离都成正比”，当真正需要建设时，我们会找到一个最佳的方案，或许运送的总质量增加了，但是成本减少了。

“天铁”

在一些更长远的构想中，地球上的太空梯建好后将和月球梯连成一体，人们经过几次换乘，可以方便地抵达月球。美国“CNET科技网”一篇文章略带调侃地描述了未来太空梯中的情景，“电梯门打开，一名年老的电梯操作员彬彬有礼地向太空乘客们问道，‘请问在第几层太空下梯？’”

这难道是传说中的“天铁”？

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