伽马函数的傅里叶变换之路
By 苏剑林 | 2014-12-08 | 66388位读者 |伽马函数
$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$
作为阶乘的推广,会让很多初学者感到困惑,对于笔者来说也不例外。一个最自然的问题就是:这般复杂的推广公式是如何得到的?
在cos.name的文章《神奇的伽马函数》中,有比较详细地对伽马函数的历史介绍,笔者细读之后也获益匪浅。但美中不足的是,笔者还是没能从中找到引出伽马函数的一种“自然”的办法。所谓“自然”,并不是说最简单的,而是根据一些基本的性质和定义,直接把伽马函数的表达式反解出来。它的过程和运算也许并不简单,但是思想应当是直接而简洁的。当然,我们不能苛求历史上伽马函数以这种方式诞生,但是作为事后探索是有益的,有助于我们了解伽马函数的特性。于是笔者尝试了以下途径,得到了一些结果,可是也得到了一些困惑。
在实数的世界里:干不了!
伽马函数作为阶乘函数的推广,自然要满足阶乘函数所具有的性质,比如阶乘函数满足
$$n!=n\times (n-1)!\tag{1}$$
现在我们定义伽马函数$\Gamma(x)$,在$x$是正整数的时候有
$$\Gamma(x)=(x-1)!\tag{2}$$
于是根据$(1)$有
$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\tag{3}$$
上式开始只对$x$为正整数时成立,而作为推广,我们要求$(3)$对于所有的实数都成立(这正是伽马函数的性质),而为了求出$\Gamma(x)$的具体表达式,我们就得从$(3)$中解出$\Gamma(x)$,这是函数方程的求解问题。根据《算符的艺术:差分、微分与伯努利数》中的思想,记$D\equiv \frac{d}{dx}$,我们就可以将$(3)$写成
$$e^D\Gamma(x)=x\Gamma(x)\tag{4}$$
利用傅里叶变换来求解它,两边作傅里叶变换,其中
$$D\to i\omega,\quad x\to i\frac{d}{d\omega}$$
从而$(4)$变为
$$e^{i\omega}\mathcal{F}[\Gamma(x)]=i\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}[\Gamma(x)]$$
这方程是很容易解的,解为
$$\mathcal{F}[\Gamma(x)]=C\exp\left(-e^{i\omega}\right)$$
最后作逆变换得到
$$\Gamma(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} C\exp\left(-e^{i\omega}\right)e^{i\omega x}d\omega\tag{5}$$
似乎挺完美的,但是请注意,积分$(5)$不会得到一个良好的函数(除非$C=0$),比如说$x$是整数的时候,被积函数是一个周期函数!非零的周期函数自然不会积出一个有意义的结果来。严格来说,上述积分并不存在,它的结果只能算是一个广义函数。因此,我们走这条路失败了。事实上,这表明$\Gamma(x)$的傅里叶变换不是一个普通的函数,因此不能像研究普通函数那样研究$\Gamma(x)$的傅里叶变换,所以也就就没有从它的傅里叶变换反过来求伽马函数的做法了。
在复数的世界里:柳暗花明
数学中往往有这样的现象:在某个范围内解决某个特殊的问题显得特别困难,但是把问题推广了,把范围扩大了,一次性解决更多的问题,反而显得更加简洁,如前不久我们谈到过的《正弦级数和余弦级数》就是一例。而在这篇文章中,我们把$\Gamma(x)$看成是阶乘函数对一般实数的推广,但是前面我们没有办法从$(3)$式中反解出$\Gamma(x)$来。有一个奇妙的技巧,让我们可以从中得到有意义的结果,那就是干脆把$\Gamma(x)$延拓到复数域中去,把它认为是复数域中的函数$\Gamma(z)$!这样做能够让我们从$(3)$式中反解出$\Gamma(x)$来,经历了实数世界中的“山重水复疑无路”之后,复数的世界给我们“柳暗花明又一村”的感觉。
设$x$是一个实数变量,那么根据$(2)$式,对于纯虚数$xi$,我们有
$$\Gamma\left((x-i)i\right)=\Gamma(x i+1)=x i\Gamma(x i)\tag{6}$$
同样设$D\equiv\frac{d}{dx}$,那么类似$(4)$,有
$$e^{-i D}\Gamma(x i)=x i\Gamma(x i)\tag{7}$$
同样利用傅里叶变换,此时得到
$$e^{\omega}\mathcal{F}[\Gamma(x i)]=-\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}[\Gamma(x i)]$$
解得
$$\mathcal{F}[\Gamma(x i)]=C\exp\left(-e^{\omega}\right)$$
作逆变换得
$$\Gamma(x i)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} C\exp\left(-e^{\omega}\right)e^{i\omega x}d\omega\tag{8}$$
那么
$$\Gamma(z)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} C\exp\left(-e^{\omega}\right)e^{\omega z}d\omega\tag{9}$$
注意不同于$(5)$式,$(9)$式是一个简单的实积分,它可以继续化简
$$\begin{aligned}\Gamma(z)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} C\exp\left(-e^{\omega}\right)e^{\omega z}d\omega\\
=&\frac{C}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-e^{\omega}\right)e^{\omega (z-1)}e^{\omega}d\omega\\
=&\frac{C}{2\pi}\int_{0}^{+\infty} \exp\left(-e^{\omega}\right)e^{\omega (z-1)}de^{\omega}\\
=&\frac{C}{2\pi}\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{z-1}dt\end{aligned}$$
最后根据$\Gamma(1)=0!=1$,确定$\frac{C}{2\pi}=1$,从而
$$\Gamma(z)=\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{z-1}dt\tag{10}$$
$(10)$式正好是我们要寻求的伽马函数的表达式。
这表明,伽马函数作为复自变量的虚部的一个实函数(也就是说,固定自变量的实部,虚部为变量),才具有意义普通函数性质的傅里叶变换。
简述
本文是笔者试探式的结果,通过求解函数方程$(3)$来反解伽马函数,我们看到了傅里叶变换在其中的作用,但也看到了某些不足,一些步骤需要一些特定的技巧才能进一步求解下去。当然,更重要的是不断尝试,不断探索,才能真正去体味到其中的乐趣。本文的后半部分,也就是在复数中求解的思路,也是经过长时间的尝试无果,在今天突然想到的。总的来说,多多尝试,总会有收获的。
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January 10th, 2015
5式替换 iw = s, 然后进一步替换 ds = d(e^s)也可以得到伽马函数的形式啊。只不过多出一个系数 1 / i.
这个我想过,但是替换iw=s,积分限就有问题了。而且作变量变换就变成exp(iw)为变量,对于w=正负无穷,exp(iw)是没有意义的。
August 3rd, 2015
注意不同于(5)式,(9)式是一个简单的实积分,它可以继续化简。后面是T(z)非T(X)
看我看的多仔细,龇牙.其实站长的文章,很多里都有手打字符错误的情况。有的不指出来,也无碍。
非常感谢 先忧后乐范 朋友认真仔细的阅读,这不仅有助于本站的完善,更重要的是避免笔者的一些错误误导了读者。
再次感谢。
December 4th, 2019
应该用梅林变换去求解,把伽马函数延拓到复数域的思想是对的,然后对其进行梅林逆变换,最后再用正变换得到伽马函数
赞。
用变换去解这函数方程,这想法很好哈哈
January 15th, 2020
对1/(1-x)进行离散与连续展开,有
1/(1-x)=∑x^k=∫e^-(1-x)tdt
=∫e^-t∑(xt)^k/k!dt
=∑(∫e^(-t)t^kdt)x^k/k!
对比系数有
k!=∫e^(-t)t^kdt
x在收敛域内
求和积分均在0–∞
这样确实也能算是一种不错的引导。好理解,但是并不直观。
这个我参考了贝尔数的多宾司机公式的推导,两者实际上都是解析延拓
如果写成1/(1-x)=∑k!/k!x^k
那么1/(1-x)实际上可以看成阶乘的指数型生成函数,这就类似于
e^(e^x-1)=∑ Bn/n!x^n
学习了,谢谢。
我也是看了你那个贝尔数的文章哈哈
February 18th, 2020
我想是因为伽马函数不满足狄利克雷条件,其傅里叶变换不存在,所以你的方法行不通,但是伽马函数的倒数有傅里叶变换,没有砸你场子的意思啊哈哈,只是希望你好好想想
November 20th, 2023
偶然在朋友圈看到某段博文的截图,顺藤摸瓜来到此处,虽然不是该专业的学生,但一些博文依旧让我受益匪浅,要是我们专业也有像苏神这样的大神,学习生活想必会更有乐趣!
February 8th, 2024
考虑 $\color{black}{\mathbf{幂函数}}$ 的 $\color{black}{\mathbf{拉普拉斯变换}}$
$$
\mathcal{L}\{t^{s-1}\}(e^D)=
\int_0^\infty t^{s-1}\exp\Big(-te^D\Big)dt=
\Gamma(s)e^{-sD}
$$
$\color{gray}{其中}$ $e^D$ $\color{gray}{为}$ $\color{darkgreen}{\mathbf{位移算子}}$
将其作用到 $\color{black}{\mathbf{函数}}$ $\phi(0)$ 即得 $\color{darkred}{\mathbf{拉马努金主定理}}$
$$
\int_0^\infty t^{s-1}\underbrace{\Big(e^{-te^D}\circ\phi(0)\Big)}_{f(t)}dt=
\Gamma(s)\Big(e^{-sD}\circ\phi(0)\Big)=
\Gamma(s)\phi(-s)
$$
其中
$$
f(t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\phi(n)}{n!}(-t)^n
$$
接下来,设 $\phi(t)=1$ ,则 $f(t)=e^{-t}$ ,于是便可得 $\color{black}{\mathbf{伽马函数的积分式}}$
$$
\color{red}{\boxed{
\Gamma(s)=
\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt
}}
$$