Pre Norm与Post Norm之间的对比是一个“老生常谈”的话题了,本博客就多次讨论过这个问题,比如文章《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》《模型优化漫谈:BERT的初始标准差为什么是0.02?》等。目前比较明确的结论是:同一设置之下,Pre Norm结构往往更容易训练,但最终效果通常不如Post Norm。Pre Norm更容易训练好理解,因为它的恒等路径更突出,但为什么它效果反而没那么好呢?

笔者之前也一直没有好的答案,直到前些时间在知乎上看到 @唐翔昊 的一个回复后才“恍然大悟”,原来这个问题竟然有一个非常直观的理解!本文让我们一起来学习一下。

基本结论 #

Pre Norm和Post Norm的式子分别如下:
\begin{align}
\text{Pre Norm: } \quad \boldsymbol{x}_{t+1} = \boldsymbol{x}_t + F_t(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t))\\
\text{Post Norm: }\quad \boldsymbol{x}_{t+1} = \text{Norm}(\boldsymbol{x}_t + F_t(\boldsymbol{x}_t))
\end{align}
在Transformer中,这里的$\text{Norm}$主要指Layer Normalization,但在一般的模型中,它也可以是Batch Normalization、Instance Normalization等,相关结论本质上是通用的。

在笔者找到的资料中,显示Post Norm优于Pre Norm的工作有两篇,一篇是《Understanding the Difficulty of Training Transformers》,一篇是《RealFormer: Transformer Likes Residual Attention》。另外,笔者自己也做过对比实验,显示Post Norm的结构迁移性能更加好,也就是说在Pretraining中,Pre Norm和Post Norm都能做到大致相同的结果,但是Post Norm的Finetune效果明显更好。

可能读者会反问《On Layer Normalization in the Transformer Architecture》不是显示Pre Norm要好于Post Norm吗?这是不是矛盾了?其实这篇文章比较的是在完全相同的训练设置下Pre Norm的效果要优于Post Norm,这只能显示出Pre Norm更容易训练,因为Post Norm要达到自己的最优效果,不能用跟Pre Norm一样的训练配置(比如Pre Norm可以不加Warmup但Post Norm通常要加),所以结论并不矛盾。

直观理解 #

为什么Pre Norm的效果不如Post Norm?知乎上 @唐翔昊 给出的答案是:Pre Norm的深度有“水分”!也就是说,一个$L$层的Pre Norm模型,其实际等效层数不如$L$层的Post Norm模型,而层数少了导致效果变差了。

具体怎么理解呢?很简单,对于Pre Norm模型我们迭代得到:
\begin{equation}\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_{t+1} =&\,\boldsymbol{x}_t + F_t(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t)) \\
=&\, \boldsymbol{x}_{t-1} + F_{t-1}(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_{t-1})) + F_t(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t)) \\
=&\, \cdots \\
=&\, \boldsymbol{x}_0 + F_0 ((\text{Norm}(\boldsymbol{x}_0)) + \cdots + F_{t-1}(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_{t-1})) + F_t(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t))
\end{aligned}\end{equation}
其中每一项都是同一量级的,那么有$\boldsymbol{x}_{t+1}=\mathscr{O}(t+1)$,也就是说第$t+1$层跟第$t$层的差别就相当于$t+1$与$t$的差别,当$t$较大时,两者的相对差别是很小的,因此
\begin{equation}\begin{aligned}
&\,F_t(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t)) + F_{t+1}(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_{t+1})) \\
\approx&\,F_t(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t)) + F_{t+1}(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t)) \\
=&\, (F_t\oplus F_{t+1})(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t))
\end{aligned}\end{equation}
这个意思是说,当$t$比较大时,$\boldsymbol{x}_t,\boldsymbol{x}_{t+1}$相差较小,所以$F_{t+1}(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_{t+1}))$与$F_{t+1}(\text{Norm}(\boldsymbol{x}_t))$很接近,因此原本一个$t$层的模型与$t+1$层和,近似等效于一个更宽的$t$层模型,所以在Pre Norm中多层叠加的结果更多是增加宽度而不是深度,层数越多,这个层就越“虚”。

说白了,Pre Norm结构无形地增加了模型的宽度而降低了模型的深度,而我们知道深度通常比宽度更重要,所以是无形之中的降低深度导致最终效果变差了。而Post Norm刚刚相反,在《浅谈Transformer的初始化、参数化与标准化》中我们就分析过,它每Norm一次就削弱一次恒等分支的权重,所以Post Norm反而是更突出残差分支的,因此Post Norm中的层数更加“足秤”,一旦训练好之后效果更优。

相关工作 #

前段时间号称能训练1000层Transformer的DeepNet想必不少读者都听说过,在其论文《DeepNet: Scaling Transformers to 1,000 Layers》中对Pre Norm的描述是:

However, the gradients of Pre-LN at bottom layers tend to be larger than at top layers, leading to a degradation in performance compared with Post-LN.

不少读者当时可能并不理解这段话的逻辑关系,但看了前一节内容的解释后,想必会有新的理解。

简单来说,所谓“the gradients of Pre-LN at bottom layers tend to be larger than at top layers”,就是指Pre Norm结构会过度倾向于恒等分支(bottom layers),从而使得Pre Norm倾向于退化(degradation)为一个“浅而宽”的模型,最终不如同一深度的Post Norm。这跟前面的直观理解本质上是一致的。

文章小结 #

本文主要分享了“为什么Pre Norm的效果不如Post Norm”的一个直观理解。

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苏剑林. (Mar. 29, 2022). 《为什么Pre Norm的效果不如Post Norm? 》[Blog post]. Retrieved from https://www.kexue.fm/archives/9009

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        title={为什么Pre Norm的效果不如Post Norm?},
        author={苏剑林},
        year={2022},
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        url={\url{https://www.kexue.fm/archives/9009}},
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