从“0.999...等于1”说开来
By 苏剑林 | 2015-07-21 | 59560位读者 |从小学到大学都可能被问到的但却又不容易很好地回答的问题中,“0.999...究竟等不等于1”肯定也算是相当经典的一个。然而,要清楚地回答这个问题并不容易,很多时候被提问者都会不自觉地弄晕,甚至有些“民科”还以这个问题“创造了新数学”。
本文试图就这个问题,给出比较通俗但比较严谨的回答。
什么是相等? #
要回答0.999...等不等于1,首先得定义“相等”!什么才算相等?难道真的要写出来一模一样才叫相等吗?如果是这样的话,那么2-1都不等于1了,因为2-1跟1看起来都不一样啊。
显然我们需要给“相等”做出比较严格但是又让人公认的定义,才能对相等进行判断,显然,下面的定义是能够让很多人接受的:
$a = b$等切仅当$|a-b|=0$。
基于这个定义,我们要来算算$1-0.999...\stackrel{?}{=}0$。要回答这个还没有那么容易,还要定义什么是0!还是之前的问题:什么才是0?难道真的要写出来一模一样才是0吗?
这时候就来到数学分析的基础了——0就是比任何正数都小的非负数。
没错,整个严密的数学分析的基础之一就是0的定义:0就是比任何正数都小的非负数。读者不妨回想一下,所谓的极限理论,不都是这句话的变形吗?当然,这句话可以有另外的表述形式,但是本质上来说就是这个意思。(当然,还有实数的完备性等内容,我们并没有明显地强调出来,而是默认地接受了它们。)
好,现在有了0的定义了,我们就可以算$1-0.999...$了,显然,它肯定比我们任意给出的正数要小,所以它只能为0,所以$1=0.999...$
测度、范数、同构 #
上面我们已经定义了两个数的相等为两个数的差的绝对值为0,由此衍生了一系列相等的定义,比如,两个$\mathbb{R}$上的函数$f(t)$和$g(t)$,定义为
$f(t)=g(t)$当且仅当$|f(t)-g(t)|=0\,(\forall t\in \mathbb{R})$。
然而,这个定义通常来说过于严密了。一方面,这个条件很难满足,尤其是在各种物理现象中,几乎找不到每一点都相等的两个函数;另一方面,很多时候比这个条件要弱的情况都已经“够用了”。因此,适当地放宽相等的定义,从而诞生了各个不同的学科,如实变函数与泛函分析。
考虑下面两个函数:
$$\begin{aligned}
&f(t)=e^t,\,t\in [0,\infty)\\
&g(t)=\left\{
\begin{aligned}
&e^t,\,t\in(0,\infty)\\
&0,\,t=0
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}$$
显然,$f(t)$和$g(t)$仅仅在$t=0$处不同,其余地方完全一样。那么这两个函数在使用中有什么区别呢?如果在物理中,用的比较多的是积分运算(因为物理中很多求解微分方程,求解微分方程就涉及到积分),显然,这两个函数在同一个区间的积分结果是一样的——仅仅一点不同不影响积分结果。在这种意义下,我们认为$f(t)$与$g(t)$是相等的,当然,在实变函数中,它有个更准确的名词,叫做“几乎处处相等”。实变函数中主要内容之一就是研究几乎处处相等的东西,而所谓几乎处处相等,就是说如果两个函数有差别的部分“面积”(准确来说是测度)为0,那么就认为两者相等(从物理的角度来看,因为这么小的差别基本上不会影响物理结果。)
到了实变函数,相等的概念放得更弱了。在实变函数中,可以自定义“距离”(范数),这种距离甚至可以没有几何意义,完全是抽象的。它可以是欧几里得距离,也可以是积分,也可以是极限等。而两个“东西”相等,只需要所定义的“距离”为0。
而在代数中,我们出现了“同构”的概念,这是个比相等更为广泛的概念。同构告诉我们,同构的东西具有类似的(代数)性质,因此只需要研究其中一个就行了。而在这种意义之下,它本质上也是的相等的概念,因为它实际上就是说:揭开表面的那层皮,其内在都是一样的。当然,同构并非代数中独有的概念,在分析中也有,如等距同构。
回到原点 #
从小学问题扯到泛函分析、代数去了,也真够远的。把这个话题扯开来,主要是想让有兴趣的读者知道,之所以会产生“0.999...等不等于1”的疑问,主要是对“相等”没有给出比较清晰的定义,或者对定义理解不足所致。定义好了“相等”这一概念,也就可以清晰地回答这个问题了。否则,在此问题过多纠结,而没有找到症结所在,有损我们的数学学习进程。
顺便可以看到,其实数学分析、实变函数甚至泛函分析,都在不断地重新诠释着相等的意义。
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July 21st, 2015
有道理,我看吧里总有人在争论怎样的证明是对的!
July 27th, 2015
相等的实质是本质上相等,你告诉我们相等的相关定义后,但我还是觉得相等说的很含糊,从数学的严谨程度讲1不等于0.9999....,但是换种理论思路,在无限远的一个点他们有可能相等
多说无益,请你给出“本质”的定义。
无穷远处相等时不对的 0.999999999.....这样的书如果按照定义的加减法 ,是需要从小数末尾开始运算 然而无穷多项并不能传统加减去运算,极限的定义求解是正确的
当年我也很认真仔细的思考过这个问题,也一样的发现我们对这个问题产生疑惑的根源在意等号这个符号的含义。。。然后我仔细的思考为什么两个东西可以相等,等号到底是什么意思。。。然后我自己给了个等号的定义,就是无法区分,则相等。。。。对等号两边的东西,做任何相同的操作,都无法区分这两者,则相等。。。
所以,0.99999...不等于1,不难想象出一种操作,很容易就可以区分出0.99...和1。
事实上,我们从一开始学极限数学,都用的是趋近于这个概念,而不是等于这个概念。。。大概不区分趋近于和等于,只是为了省事。
嗯,必须存在一个“比较”方案,才能定义“相等”。
August 14th, 2015
这个是我们高中物理老师的毕业论文 哈工大数学专业,谈论0.3333……和1/3可惜他没说他的论文分析,我也没问
November 29th, 2015
对于这个问题我有这样的理解,0.99999999……不等于1(个人想法),但是在数学研究中可以成为1处理,0.333333333……是1/3的表现形式,然而这个表现形式无法完全展现1/3的内在特性,好比编辑图片的时候1/3是源文件,而0.3333333……是输出文件,两个文件从视觉上(极限的数学研究)看是一样的图片,但是1/3之中存在前者不具备的机制,将1/3等同于0.33333333……实际上是一种有损压缩,因此(1/3)*3=1,而0.99999……则不等于1. (个人观点仅供参考!)
弄错了,这里有些地方的0.99999999……应该是0.33333333……
你的观点有一定的合理之处,但是这里要看你把它当作一个什么问题,太哲学化似乎不大好,如果要从数学角度看,那么还是文中的观点——首先给“相等”下个定义,不然我们就很难讨论下去了。
November 30th, 2020
是不是从量子力学的角度看, 一切逼近都是最终差一个量子单位呢?
也就说是 0.9999.... 9的位数到了一定的位数后, 就不能再加了,因为已经不可分。