三次方程的根式求解(通俗版本)
By 苏剑林 | 2009-07-19 | 56743位读者 |(说明:由于本文章含有较多的根号,推荐使用IE直接阅读,或者使用IE+MathPlayer。火狐浏览器对根号的显示是相当的差。)
大家知道,1到4次的代数方程都有求根公式(尽管未必是最简单的方法),对于1次和2次方程的求根,大家可能滚瓜烂熟了。但是你了解三次方程的解法吗?
$$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq0)$$
网上有不少关于这方面的资料,但是却有着两个缺点:一是缺乏描述专业数学公式的相关程序(很多网站都是这样);二是语言过于专业,不能大众化(如维基百科)。
要了解三次方程的求根公式,首先要知道,一般地,n次代数方程有n个根。而对于最基本的三次方程$x^3+p=0$,我们有:
$$x_1=-\sqrt[3]{p}$$
同时根据韦达定理,我们有$x_1+x_2+x_3=0,x_1\cdot x_2\cdot x_3=-p$,我们已经知道$x_1=-\sqrt[3]{p}$,现在就变成了关于$x_2,x_3$的二次方程组,可以求解($i^2=-1$,虚数单位):
$$x_2=-\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}, \quad x_3=-\frac{1}{2}(-1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{p}$$
特别地,一般会将$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$写成$\omega$,于是
$$x_2=-\sqrt[3]{p} \omega,\quad x_3=-\sqrt[3]{p}\omega ^2$$
下面进入一般的三次方程的求解:
对于一道三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$,我们有可以用换元法,设$y=x+\frac{b}{3a}$,将原方程变为关于y的三次方程:
$$y^3+py+q=0 \Leftrightarrow y^3+py=-q$$
其中
$$\begin{aligned}&y=x+\frac{b}{3a}\\
&p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\\
&q=\frac{2{b^3}}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\end{aligned}$$
(卡丹的证明)由于$(A-B)^3+3AB(A-B)=A^{3}-B^{3}$,所以$3AB=p,A^{3}-B^{3}=-q,y=A-B$,于是变成关于$A,B$的六次方程组,而这一道六次方程组很简单,通过换元法,就变成了一道二次方程组,可以求解。最后我们得到的结果为:
$$\begin{aligned}&A=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}},
&B=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3}}\end{aligned}$$
接下来就很容易得出原方程的解了。
最终,我们得出关于方程$y^3+px+q=0$的求根公式为
$$\begin{aligned}&x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&x_3=\omega^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\
&\omega=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)\end{aligned}$$
看到这里,如果想挑战自己的你,请写出$ax^3+bx^2+cx+d=0\,(a\neq 0)$的一般求根公式吧^_^
至于四次方程,有时间也会写一下。
参考资料:
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B&variant=zh-cn
http://baike.baidu.com/view/521598.htm
http://baike.baidu.com/view/1315076.htm
http://www.oursci.org/archive/magazine/200112/011208.htm
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苏剑林. (Jul. 19, 2009). 《三次方程的根式求解(通俗版本) 》[Blog post]. Retrieved from https://www.kexue.fm/archives/26
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July 19th, 2009
很好,的确很通俗的讲解。相比二次方程,三次方程的求根公式麻烦多了,计算也很复杂!关于$ax^3+bx^2+cx+d=0(a!=0)$的通用求根公式,我也挑战下我自己^_^
July 15th, 2018
站长好,那个,我觉得$q=\frac{2{b^3}/{27a^3}-{bc}/{3a^2}+d/a}{2}$应该改为$q=\frac{2{b^3}}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$哟~~~
BTW,塔塔利亚和卡丹的图片为什么是小孔成像和折反射的图片呢~~~
已经更正了部分错误,感谢提出。主要是早期数据迁移时导致的不兼容问题了。
November 27th, 2019
站长好,$x2=\sqrt[3]{p}\omega,x3=\sqrt[3]{p}\omega^2$不应该是$x2=-\sqrt[3]{p}\omega,x3=-\sqrt[3]{p}\omega^2$吗?
June 20th, 2022
x^3 + p = 0的解有错误
已经修正,谢谢。