内积与外积

向量(这里暂时指的是二维或者三维空间中的向量)的强大之处,在于它定义了内积和外积(更多时候称为叉积、向量积等),它们都是两个向量之间的运算,其中,内积被定义为是对称的,而外积则被定义为反对称的,它们都满足分配律。

沿着书本的传统,我们用$\langle,\rangle$表示内积,用$\land$表示外积,对于外积,更多的时候是用$\times$,但为了不至于出现太多的符号,我们统一使用$\land$。我们将向量用基的形式写出来,比如
$$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu} \tag{1} $$
其中$\boldsymbol{e}_{\mu}$代表着一组基,而$A^{\mu}$则是向量的分量。我们来计算两个向量$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$的内积和外积,即
$$\begin{aligned}&\langle \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}\rangle=\langle \boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu}, \boldsymbol{e}_{\nu}B^{\nu}\rangle=\langle\boldsymbol{e}_{\mu},\boldsymbol{e}_{\nu}\rangle A^{\mu}A^{\nu}\\
&\boldsymbol{A}\land \boldsymbol{B}=(\boldsymbol{e}_{\mu}A^{\mu})\land (\boldsymbol{e}_{\nu}B^{\nu})=\boldsymbol{e}_{\mu}\land\boldsymbol{e}_{\nu} A^{\mu}B^{\nu}
\end{aligned} \tag{2} $$

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