[问题解答]木杆平衡
By 苏剑林 | 2012-01-21 | 56369位读者 |昨天一个QQ好友让我帮忙解决一道物理题目:
长为L的均匀木杆重Q,在木杆上离A端L/4处放有一重为Q/2的重物,平衡时,木杆AB与水平面的夹角θ有多大?
看上去挺有趣的。于是我先记了下来,今天早上思考了一会儿,得出了下面的结果。其中我解答并没有直接受力分析,而是用了我们之前已经谈到过的“最小势能原理”:平衡系统中的势能必取极(小)值。
首先如图所示,把问题一般化,记两个细绳长度为b,木杆程度为L,质量为m;木块质量为M,距离A点的距离为a。设中心点处的坐标为(x,y),不难列出$x^2+y^2=b^2-(\frac{L}{2})^2=r^2$,于是可以设$y=r \cos\theta,x=r \sin\theta$(这里和一般的极坐标有点出入,但这只是为了计算方便),可见,变量只有θ,这是一个一自由度的问题。
选择O点所在的平面为参考平面,不难得出木杆的势能为$E_{p1}=-mgr \cos\theta$,而木块的势能为$E_{p2}=-Mgr[r \cos\theta+(\frac{L}{2}-a)\sin\theta]$,总势能为
$$E_p=-mgr \cos\theta-Mg[r \cos\theta+(\frac{L}{2}-a)\sin\theta]$$
对其求导并令导数为0,
$$\frac{dE_p}{d\theta}=mgr \sin\theta+Mg[r \sin\theta-(\frac{L}{2}-a)\cos\theta]=0$$
解得$tan\theta=\frac{M(L-2a)}{2r(M+m)}$
其中$r=\sqrt{b^2-(\frac{L}{2})^2}$
对于QQ好友原来提出的问题,得到:$tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{18}$
可以从以下几个定性的角度来对答案进行检验:
1、检查左右两边的量纲是否相等。本答案两边都无量纲,显然满足;
2、当$a=\frac{L}{2}$时,显然不会倾向某一边,该答案满足;
3、当$a > \frac{L}{2}$时,显然会倾向另外一边,该答案满足(tanθ变负数);
4、当M为0时,显然偏角为0;当M远远大于m时,偏角与M,m无关。该答案满足。
5、当b非常长(趋于无穷)时,显然偏角不会明显,于是θ趋于0。该答案也满足。
很多时候检验并不是要我们重新计算一遍,而是像上面一样找一些特例来验证。因为一个正确的答案必须能满足物理现象的各个方面。这些特例其实就描述了这个物理系统的性质。这是定性的方法。掌握一些定性方法,能让我们在全然不知具体细节的情况下,“摸清”答案具有的各种性质,甚至“猜出”答案!这正是诸多物理大师如费米、费恩曼、惠勒等擅长的。
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January 22nd, 2012
为什么搞得这么复杂?
1、算出M+m的重心位置。
2、平衡时重心位于悬挂点下方,用arctan立得角度theta
你说的不错,这样算的确很简单,BoJone没有想到^_^
不过我的解法一方面说明:我不擅长于受力分析;另一方面也说明了最小势能原理的适用性。实际上也许运算过程复杂了一点,但是这个思路是非常简单显然的。
祝新年快乐!
January 22nd, 2012
其实我说的简单算法里就隐含了最小势能原理:整个物件等价于一个单摆,M+m的重心即摆锤,摆锤位于弧线最低点时系统势能最低,也即位于悬挂点正下方时。
很好。x读者的看法非常精辟,的确是这样!由于这里的能量只有势能,的确可以这样做!这样看来x的解法更直接了当,看来x的物理感觉很好。只不过需要领悟到“等效一个单摆”以及对质心有所了解!
不管怎样,由衷地赞!^_^
偶有一得
什么意思?
January 23rd, 2012
乃是本人自谦之意:)
"愚者千虑,偶有一得"
一不小心,又新起了一个。。。
新年快乐!去想去的学校!
January 26th, 2012
如果不允许用求导数的方法,你准备怎么解呀?
想到两个思路:
1)力矩平衡,加上等值的theta角建立方程。
2)假设重物在木棒的中点,重物与木棒处在平衡状态A中,然后假设重物是由木棒的中点(状态A)移动到现在的位置。这两个状态下的两个系统的势能值是一样的。设A状态的系统势能值为零。
分别计算目前状态下的两个物体的势能。
这些都是笨方法。
对于第一个方法,说实话,虽然我知道力矩是什么,力矩怎么算,我还是无法直观地理解力矩,所以我不习惯利用力矩解题。
第二个方法应该是一个不错的方法,但是“这两个状态下的两个系统的势能值是一样的”这句话不大显然。
我觉得不用导数的最好方法就是x读者提出的“等效于一个单摆”,这样类比不管是用势能最小的方法还是用受力分析的方法,都已经达到了事半功倍的效果了。
祝新年快乐!^_^
January 28th, 2012
力矩(更本质的概念是扭矩吧),我的理解,当力的作用线不通过刚体的质心从而使刚体转动时,当刚体是给定的时候,它的运动,既跟外力有关,又跟这个外力与质心的方向有关,于是引入了这么一个量。更深一步考虑,作用在一个物体上的力矩等效于此外力对物体所作的功(使该物体移动了这样的一个距离值:从“力的作用点”到物体的质心[或旋转中心]的距离)。对于一个旋转着的物体,它的扭矩表征它的输出功,或者一种能。呜,说到能量了……先想到这。
哦,是根据机械能守恒,而在这两个状态上刚好没有动能,所以在两个时刻的势能(和)是等值的。
是的,他的方法挺巧妙,洞察到了这个系统是一个单摆,而且更重要的是想起了单摆平衡时的性质。
你应该说到了要领——使刚体旋转。是的,力矩正是这样的一个量。可以这样说,力是产生加速度的原因,而力矩是产生旋转的原因。而旋转本身就是非惯性运动(也有加速度),所以力矩在本质来讲也属于力的一部分(只不过它多乘了向径这个量)。不过BoJone总喜欢处理一个质点的东西,不能看成质点的东西永远是我的弱项。这也是为什么在现学的数学中我最弱的是统计和概率,因为它们处理的不是一个对象,而是一群对象。看来BoJone以后得往这方面加强。