网友:椭圆定长弦中点轨迹的一种解法
By 苏剑林 | 2013-02-02 | 34515位读者 | 引用大概在半年前,我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题,求出了轨迹方程。前几天,我收到了网名为“理想”的网友的Email,他提出了自己对这个问题的解法,并得到了形式不同的轨迹方程,因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验,我跟他的轨迹方程基本上是等价的,不过,他求出的轨迹方程总包括了原点,这是一点不足之处。但是看起来,他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外,因为从他的化简过程来看,有种“化简为繁”的味道,却得出了相当简洁的答案,着实有趣。
经过网友的同意,将他的过程贴在这里与大家分享!后面附有pdf文档,欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。
椭圆定长弦中点轨迹的一种解法
作者:理想
本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$,弦长为$2r$,随着弦的两端在椭圆上滑动,弦的中点形成的轨迹为:
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆,而是一个高次曲线。
椭圆内的一根定长弦(化圆法)
By 苏剑林 | 2012-07-06 | 31332位读者 | 引用在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。
所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。
抛物线内一根定长的弦
By 苏剑林 | 2012-06-30 | 32929位读者 | 引用你见过正方形轮子的自行车吗?一般认为,只有圆形的车轮才能使我们的车子平稳向前移动,但这只是针对平直道路而言的。谁规定路一定是平的?只要铺好一条适当的道路,正方形车轮的自行车照样可以平稳前行!本文就让我们为方轮自行车铺一条路。
其实,方轮自行车已经不是新鲜玩意了,它早已出现在不少科技馆中。从图片中可以看到,它的特殊轨道是有许多段弧组成的,每一段弧的长度等于正方形的边长。车轮前行时,正方形会保持与弧形相切(确保不会打滑)。这样的路的形状是什么曲线呢?很幸运,它并不十分复杂,而且让人意外的是,它就是我们之前已经研究过的“悬链线”!原来,要设计这样的一个曲线的轨道,不需要多么高深的设计师,只需要我们手拿一条铁链,让它自由垂下......
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