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电的相对论效应——磁“子虚乌有”？
By 苏剑林 | 2013-05-11 | 38904位读者 | 引用也许大家会觉得，相对论中有一个因子
$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
因此，相对论的效应只有在高速情况下，即v比较接近于c的情况下才会凸显出来。这在一般情况下是正确的，但是却不全对。因为存在相当明显的、速度低于1mm/s的相对论效应——那就是几乎人尽皆知的“磁”。
之前已经提及过，磁场可以解释为电场的相对论效应，因此所有电磁现象都可以归因为电场和相对论。事实上，这是正确的，只是教科书上并没有明确说出这一点而已。于是我们就不难理解“为什么电磁学的麦克斯韦方程组会与相对论协调”、“为什么电场与磁场的表现如此相似”等等问题了，因为它们的探究本身就在相对论的框架下，磁场和电场都是一个东西的结果。
在上一篇文章中，我们已经得到了电偶极子的等势面和电场线方程，这应该可以让我们对电偶极子的力场情况有个大致的了解了。当然，我们还是希望能够求出在这样的一个受力情况下，一个带电粒子是如何运动的。简单起见，在下面的探讨中，我们假定带电粒子的质量和电荷量均为1，至于电荷的正负，可以通过改变在$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$中的k值的正负来控制。我们使用的工具依旧是理论力学中的欧拉-拉格朗日方程。
也许不少读者始终对公式感到头疼，更不用说是博大精深的理论力学了。但是请相信我，如果你花一点点心思去弄懂用变分法研究力学（或其他物理系统，但我目前只会用于力学）的基本思路和步骤，那么对你的物理研究是大有裨益的。因为在我眼中，学习了一丁点的理论力学知识后，我看到的只有物理的简洁与和谐。有兴趣的朋友可以看看我的那几篇《自然极值》等相关文章。
首先写出动能的表达式：$T=\frac{1}{2} (\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)$
还有势能：$U=-\frac{k \cos\theta}{r^2}$
设想两个带有等量异号电荷的点电荷，它们之间的距离足够小，这样的一个模型被称为电偶极子（electric dipole）。我们研究电偶极子，主要是研究它在力学方面的性质。很多东西都可以用电偶极子来近似描述，比如一个小磁体周围的磁场，还有地球本身也可以近似看做一个偶极子来描述它的磁力情况，以及一些双原子分子的模型也被可以看做一个电偶极子模型，等等。在电偶极子模型中，两电荷的距离足够小，以至于我们忽略了一些关于距离的高次方项，只保留了线性部分，但对于物理探索来说，它已经足够精确，更重要的是，它足够简单，以至于我们可以容易把它清晰地描述出来。
我们先来研究电偶极子产生的电势。设它们各自的电荷量为q和-q，两者距离为ε，根据库仑定律，一个点电荷产生的电势，正比于该电荷的电荷量，同时反比于到该点电荷的距离。那么，一个电偶极子产生的电势为
$U=C(\frac{q}{r}+\frac{-q}{|\vec{r}-\vec{\varepsilon}|})$————(1)
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