| 【上一页】【下一页】【返回目录】 |
| 6. 积分 |
| 1）问题的提出——求曲边梯形的面积 |
| 可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积. 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． |
 |
| （图一） |
| 图二中用四个小矩形逼近 |
 |
| （图二） |
| 图三中用九个小矩形逼近 |
 |
| （图三） |
| 曲边梯形面积的近似值为： |
 |
| 当等分间隔无穷多时： |
 |
 |
| （图四） |
| 2）定积分的定义 |
上式的这个极限称为函数 在区间 上的定积分，记为： |
 |
| 3）定积分的几何意义 |
| 曲边梯形的面积： |
 |
| 曲边梯形的面积的负值： |
 |
 |
| （图五） |
| 图五中曲线与坐标轴所围区域的面积为： |
 |
| 4）定积分的性质 |
 |
| 5）原函数与不定积分的概念 |
| 定义： |
如果在区间  内，可导函数 的导函数为 ，即 ，都有 或 |
 ，那么函数就称为或 在区间内的原函数。 |
| |
| 例： |
 ， 是 的原函数． |
 ， 是 在区间 内的原函数． |
| 原函数并非唯一，如： |
 ，C为任意常数 |
| |
| 不定积分的定义： |
| 在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分， |
记为 ． |
 |
| 6）积分的基本计算 |
| ⅰ°由不定积分的定义可知，寻找原函数是计算的关键 |
| 例如： |
 |
| 微分运算与求不定积分的运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 如： |
 |
| ⅱ°定积分是特殊条件下的不定积分 |
 |
| 这称为牛顿—莱布尼茨公式 |
| 例1:求 |
 |
| 解： |
 |
| 例2: 求 |
 |
| 解： |
 |
| 例3:求 |
 |
|
解: |
 |
| |
| 结束语: |
| 发展独立思考和独立创新的一般能力，应当始终放在首位，而不应当把知识放在首位。如果一个人掌握了他 |
| 的学科的基础理论，并且学会了独立思考与工作，他必定会找到自己的道路。而且比起那些主要以获取细节知识为其 |
| 训练内容的人来，他一定会更好适应进步和变化． |
| －－爱因斯坦 |
|
| |